习题2-5

1．设多项式 $p(x)=x^{6}-2 x^{2}-x+3$ ， （1）将 $p(x)$ 按 $(x-1)$ 的乘幂展开； （2）将 $p(x)$ 按（ $x+1$ ）的乘幂展开。

2．求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式。

3．利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}}$ ．

4．试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使 $f(x)=x-(a+b \cos x) \sin x$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时关于 $x$ 的 5 阶无穷小．

5．用泰勒公式验证：当 $0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，若按公式 $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．

6．设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，证明：对于 $(a, b)$ 内任意两点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恒有 $\frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]\gt f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$（提示：令 $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ ，分别将 $f\left(x_{1}\right)$ 与 $f\left(x_{2}\right)$ 用 $x_{0}$ 处的一阶泰勒公式来表示）。