习题2-6

1．确定下列函数的单调区间： （1）$y=2+x-x^{2}$ ； （2）$y=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ ； （3）$y=2 x+\frac{8}{x}(x\gt 0)$ ； （4）$y=2 x^{2}-\ln x$ ； （5）$y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}(x \geqslant 0)$ ； （6）$y=x+\sin x$ ； （7）$f(x)=x-\arctan x$ ； （8）$y=x^{2}-\ln x^{2}$ ．

10．求函数 $y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ 图形的拐点及凹或凸的区间．

11．求函数 $y=x^{4}(12 \ln x-7)$ 图形的拐点及凹或凸的区间．

12．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a 、 b 、 c 、 d$ ，使得曲线在 $x=-2$ 所对应的点处有水平切线，$(1,-10)$ 为曲线的拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．

13．求曲线 $x=t^{2}, y=3 t+t^{3}$ 的拐点．

14．求下列曲线的渐近线： （1）$y=\frac{1}{x^{2}-4 x-5}$ ； （2）$y=\frac{1}{(x+2)^{3}}$ ； （3）$y=x \mathrm{e}^{x^{-2}}$ ； （4）$y=-(x+1)+\sqrt{x^{2}+1}$ ； （5）$y=x \sin \frac{1}{x}$ ； （6）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}-1}$ ．

15．作下列函数的图形： （1）$y=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y=x \mathrm{e}^{-x}$ ； （3）$y=x \sqrt{3-x}$ ； （4）$y=\sqrt[3]{x^{2}}+2$ ； （5）$y=x^{2}+\frac{1}{x}$ ； （6）$y=\frac{3 x}{(x+1)^{2}}-2$ ．

2．试证明下列不等式： （1）当 $x\gt 0$ 时，$x-\frac{x^{2}}{2}\lt \ln (1+x)\lt x$ ； （2）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{2}{\pi} x\lt \sin x\lt x$ ； （3）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ； （4）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ； （5）当 $x\gt 0$ 时， $\ln (1+x)\gt \frac{\arctan x}{1+x}$ ； （6）当 $x \geqslant 0$ 时， $\arctan x \leqslant x$ ．

3．求下列函数的极值： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x+7$ ； （2）$y=x^{2} \ln x$ ； （3）$y=2-(x-1)^{\frac{2}{3}}$ ； （4）$y=x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （5）$y=x+\frac{1}{x}$ ； （6）$y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}$ ； （7）$y=\arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)$ ； （8）$y=2 x-\ln (4 x)^{2}$ ．

4．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根。

5．证明方程 $x^{3}+5 x-2=0$ 只有一个正根．

6．试问：$a$ 为何值时，函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极小值还是极大值？

7．若函数 $f(x)$ 有 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty$ ，并且当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)\lt 0$ ，否则 $f^{\prime}(x)\gt 0(x \neq 2)$ ，当 $x \in\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 时， $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，否则 $f^{\prime \prime}(x)\lt 0(x \neq 0)$ ，则 （1）函数 $f(x)$ 的单调区间（注明增减）是 $\_\_\_\_$。 （2）函数曲线的凹区间 $\_\_\_\_$、凸区间 $\_\_\_\_$和拐点是 $\_\_\_\_$ ． （3）当 $x=$ $\_\_\_\_$时，函数取得极大值 $\_\_\_\_$。 （4）函数的渐近线有 $\_\_\_\_$。

8．判断下列曲线的凹凸性： （1）$y=4 x-x^{2}$ ； （2）$y=x \arctan x$ ．

9．求下列曲线的拐点及凹、凸区间： （1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$ ； （2）$y=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ．

＊16．利用曲线的凹凸性证明不等式：$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}$ ，其中 $x\gt 0, y\gt 0$ 且 $x \neq y$ ．