习题2-7
2-7-1
📝 有解析
第2-7-1题
1．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：
（1）$y=x^{4}-2 x^{2}+5,[-2,2]$ ；
（2）$y=\sqrt{x(10-x)},[0,10]$ ；
（3）$y=x+\sqrt{1-x},[-5,1]$ ；
（4）$y=\frac{x^{2}}{1+x},\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ ．
2-7-10
📝 有解析
第2-7-10题
10．在椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 上找一点 $P(x, y)$ ，使椭圆在该点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。
2-7-11
📝 有解析
第2-7-11题
11．某工厂要建造一个容积为 $300 \mathrm{~m}^{3}$ 的带盖圆桶，问：半径 $r$ 和桶高 $h$ 如何确定，才能使所用材料最省？
2-7-12
📝 有解析
第2-7-12题
12．生产某种商品 $x$ 单位的利润是 $L(x)=5000+x-0.00001 x^{2}$（元），问：生产多少个单位时获利润最大？
2-7-13
📝 有解析
第2-7-13题
13．某厂每批生产 $A$ 商品 $x$ 台的费用为 $C(x)=5 x+200$（万元），得到的收入为 $R(x)= 10 x-0.01 x^{2}$（万元），问：每批生产多少台，才能使利润最大？
2-7-14
📝 有解析
第2-7-14题
14．求圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 上任一点处的弧微分．
2-7-15
📝 有解析
第2-7-15题
15．求抛物线 $y=x^{2}+x$ 上任一点处的弧微分及在点 $(0,0)$ 处的曲率．
2-7-16
📝 有解析
第2-7-16题
16．求双曲线 $x y=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率．
2-7-17
📝 有解析
第2-7-17题
17．求立方抛物线 $y=x^{3}$ 在点 $(0,0)$ 及点 $(2,8)$ 处的曲率．
2-7-18
📝 有解析
第2-7-18题
18．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在哪一点处的曲率最大，最大曲率是多少？
2-7-19
📝 有解析
第2-7-19题
19．椭圆 $x=2 \cos t, y=3 \sin t$ 上哪些点处曲率最大？
2-7-2
📝 有解析
第2-7-2题
2．求函数 $y=\sin 2 x-x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值及最小值．
2-7-20
📝 有解析
第2-7-20题
20．求椭圆 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t, \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率及曲率半径．
2-7-21
📝 有解析
第2-7-21题
21．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
2-7-22
📝 有解析
第2-7-22题
22．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
2-7-23
📝 有解析
第2-7-23题
23．求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a\gt 0), t \in(0,2 \pi)\right.$ 的曲率，$t$ 为何值时，曲率最小？求最小曲率和该点处的曲率半径．
2-7-24
📝 有解析
第2-7-24题
24．若抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 在点 $x=0$ 处与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 相切且有相同的曲率半径，试确定系数 $a, b, c$ 。
2-7-25
📝 有解析
第2-7-25题
25．设 $y=f(x)$ 为过原点的一条曲线，$f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 存在，有一条抛物线 $y=g(x)$ 与曲线 $y= f(x)$ 在原点相切，在该点处有相同的曲率，且在该点附近这两条曲线有相同的凹向，求 $g(x)$ 。
2-7-26
📝 有解析
第2-7-26题
26．汽车连同载重共 5 t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 $21.6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，桥的跨度为 10 m ，拱的矢高为 0.25 m ，求汽车越过桥顶时对桥的压力（见图2－74）。
<img src="/static/img/textbook/3dd4cafcd359.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
2-7-27
📝 有解析
第2-7-27题
27．飞机沿抛物线 $y=x^{2} / 4000$（单位为 m ）俯冲飞行，在原点处速度为 $v=400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，飞行员体重为 70 kg ．求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力。
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 导数与微分 & \begin{tabular}{l}
理解导数与微分的概念、几何意义、物理意义 \\
会求导基本公式、四则运算、复合函数隐函数、反函数、参数方程求导及高阶导数 \\
会求平面曲线的切线与法线方程
\end{tabular} \\
\hline 微分中值定理 & \begin{tabular}{l}
理解 Roll、 Lagrange、 Cauchy、Taylor 定理 \\
会用定理证明相关问题 \\
会用洛必达法则求不定式的极限
\end{tabular} \\
\hline 应用 & 会用导数求单调性与极值、最值、凹凸性、渐进线等问题，能画简图会计算曲率（半径） \\
\hline
\end{tabular}
2-7-3
📝 有解析
第2-7-3题
3．已知铁路 $A B$ 长为 100 km ，工厂 $C$ 距 $A 20 \mathrm{~km}$ ，现要在铁路线上选一点 $D$ ，向工厂修筑公路．已知铁路与公路每千米费用之比为 $3: 5$ ，为使货物从 $B$ 到 $C$ 的运费最省，求 $D$ 的位置．
2-7-4
📝 有解析
第2-7-4题
4．求内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的面积最大的矩形的各边之长．
2-7-5
📝 有解析
第2-7-5题
5．欲做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 $72 \mathrm{~cm}^{3}$ ，其底边成 $1: 2$ 关系，问：各边的长为多少时，才能使表面积最小？
2-7-6
📝 有解析
第2-7-6题
6．某车间靠墙壁要盖一间面积为 $64 \mathrm{~m}^{2}$ 的长方形小屋，而现有存砖只够砌 24 m 长的墙壁，问：这些存砖是否足够围成小屋？
2-7-7
📝 有解析
第2-7-7题
7．在直线 $3 x-y-3=0$ 上求一点，使它与点 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和最小．
2-7-8
📝 有解析
第2-7-8题
8．若直角三角形的一个直角边与斜边之和为常数 $a$ ，求具有最大面积的直角三角形．
2-7-9
📝 有解析
第2-7-9题
9．从半径为 $R$ 的圆上截下中心角为 $\theta$ 的扇形，卷成一圆雉形漏斗，问：$\theta$ 为何值时，漏斗的容积最大。