习题3-1

1．下列等式中成立的是（）。 A． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ B．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$ C．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$ D． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$

2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+5 \sqrt{x}+\ln 3\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}\left(1+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+2^{x}+\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}\left(a^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right) \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}\left(2 x^{3}-\sin x+5 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}-x+x^{2} \mathrm{e}^{x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}\left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{1+2 x^{2}}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{1+x}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x}\left[\mathrm{e}^{2 x}-\frac{\mathrm{e}^{x}(x+1)}{x^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \sqrt{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1+\cos ^{2} x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x}$ ； （25） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} 3^{2 x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．

3．已知平面曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $k=4 x^{3}-1$ ，且曲线经过点 $P(1,3)$ ，求该曲线方程．

4．一曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ ，且 $x=1$ 时，$y=0$ ，求曲线 $y=f(x)$的方程．

5．一曲线通过 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

6．已知 $f^{\prime}(x)=1+x^{2}$ ，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．

7．设函数 $F(x)$ 满足 $F^{\prime}(x)=\frac{\cos 2 x}{\sin ^{2} 2 x}, F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1$ ，求 $F(x)$ ．