习题3-2

1．在下列各式等号的右端加上适当的系数，使等式成立． （1） $\mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(2 x) ;$ （2） $\mathrm{d} x=\ldots \mathrm{d}(5 x-2)$ ； （3）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(x^{3}\right)$ ； （4）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3 x^{2}\right)$ ； （5）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3-2 x^{2}\right)$ ； （6）$x^{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ d $\left(5 x^{4}-2\right)$ ； （7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right) ;$ （8） $\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}}\right) ;$ （9） $\sin \frac{3}{4} x \mathrm{~d} x=$ d $\left(\cos \frac{3}{4} x\right)$ ； （11）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ；

2．用换元法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2-3 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \sqrt{1-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}(1-3 x)^{9} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x}{3-2 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{\sin (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sin x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4+9 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{e}^{\arctan x} \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+3 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{6 x}{2+3 x} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \operatorname{sine}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=$ $\_\_\_\_$ d $(3 \ln |x|) ;$ （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(\arctan 3 x)$. （2） $\displaystyle{\int} \cos 5 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{2-3 x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} x^{2} \sin x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\cos (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1}{5-x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin x} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x+1} \mathrm{~d} x$ ； （34） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sqrt{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{16-9 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （43） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \cos 4 x \mathrm{~d} x$ ； （45） $\displaystyle{\int} x(5 x-1)^{15} \mathrm{~d} x$ ； （46） $\displaystyle{\int} \frac{x}{(3-x)^{7}} \mathrm{~d} x$ ； （47） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x-3} \mathrm{~d} x$ ； （48） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （49） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{2-x}} \mathrm{~d} x$ ； （50） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1-\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ； （51） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （52） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （53） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （54） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

4．用分部积分法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} x^{2} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} x \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}(x-1) 5^{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{x \arctan x}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} x \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \ln (1+\sqrt[3]{x}) \mathrm{d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ．

5．已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle{\int} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．

6．利用分部积分法计算 $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

＊3．用换元法计算下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \frac{x}{(1+x)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{x+2}{x^{2}+3 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \sqrt{\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{\cos x}{\sqrt{2+\cos 2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}-1}{x^{4}+1} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1-x^{2}} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x+2}}{1+\sqrt{x+2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \sqrt{5-4 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．