习题3-3

1．求下列有理函数的积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x(x-3)} \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-4} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x-15} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4 x^{2}+4 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{x-2}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{3}-1} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{2 x-5}{(x-1)^{2}(x+2)} \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+2 x^{2}+12 x+11}{x^{2}+2 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+x}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

2．求下列三角函数有理式的积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{3+5 \cos x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \cos ^{5} x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \sin ^{2} x \cos ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\sin ^{5} x}{\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \cos 4 x \cos 6 x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x}{\sin ^{2} x+5 \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{1+\tan x}{\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

3．求下列无理函数的不定积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}(a \neq b)$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}}$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ ．