习题3-4

3．利用定积分的几何意义，求下列各式的值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x ;$

4．试用定积分表示如图3－10所示的平面图形的面积． <img src="/static/img/textbook/0caefcf74be0.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

5．不计算积分，直接比较下列各组积分值的大小． （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

6．估计下列定积分值的范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ．

7．证明不等式 $\displaystyle{\int}_{2}^{3} \sqrt{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \geqslant \sqrt{2}$ ．

8．求极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

＊1．利用定积分的定义计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{4}(2 x+3) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$（提示：把区间 $n$ 等分，取 $\xi_{i}$ 为小区间右端点，并注意到 $1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}= \left.\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\right)$ ．

＊2．将和式极限 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right]$ 表示成定积分．

＊9．曲边梯形由曲线 $x=g(y)$ 、直线 $y=c 、 y=d$ 和 $y$ 轴所围（见图3－11），试用定积分定义导出其面积的定积分表示式。 <img src="/static/img/textbook/8ddf44b069ca.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> \s