习题3-5

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u$ 是 $x$ 的函数还是 $t$ 或 $u$ 的函数？它们的导数存在吗？如果存在，等于什么？

10．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt \frac{\pi}{2}, \\ x, & \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

11．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x\lt 0, \\ 2, & x=0, \\ \frac{x_{0}^{x^{2}} \cos x^{2} \mathrm{~d} x}{2 x^{2}}, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 求（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) ;(2) f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？为什么？

12．已知 $f^{\prime}(x) \cdot \displaystyle{\int}_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=50$ ，且 $f(0)=0$ ，试求 $f(x)$ ．

13．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $f(x)\gt 0$ ．证明函数 $F(x)=\frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 在 $(0,+\infty)$内为单调增加函数．

2．求下列函数的导数： （1）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-t} \mathrm{~d} t$ ； （2）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{x}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ； （3）$y=\displaystyle{\int}_{x^{2}}^{5} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ； （4）$y=\displaystyle{\int}_{2 x}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ ； （5）$y=\displaystyle{\int}_{\sqrt{x}}^{\sqrt[3]{x}} \ln \left(1+t^{6}\right) \mathrm{d} t ;$ （6）$y=\displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．

3．设 $g(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}-1} g(t) \mathrm{d} t=-x$ ，求 $g(3)$ ．

4．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

5．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u^{2} \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u^{2} \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

6．设 $y(x)$ 是由方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

7．求函数 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(1+t) \arctan t \mathrm{~d} t$ 的极小值．

8．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{3}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\displaystyle{\int}_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\ln x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} 2 t \cos t \mathrm{~d} t}{1-\cos x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\ln (1+x)}$ ； （5） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x}(\arctan t)^{2} \mathrm{~d} t}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ； （7） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ； （8） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．

9．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 为常量）； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{\mathrm{e}}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}(4-2 x)\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}|1-x| \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3}(|x-1|+|x-2|) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{-3}^{2} \min \left\{1, \mathrm{e}^{x}\right\} \mathrm{d} x$.