习题3-6

1．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(2 x^{2}-\sqrt[3]{x}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{T}{2}} \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t-\varphi_{0}\right) \mathrm{d} t$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{1}{x^{2}+4 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{9 x^{2}+6 x+1} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos \theta} \mathrm{d} \theta$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot ^{2} t \mathrm{~d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{4}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{1}^{-1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x+1}} \mathrm{~d} x$ ．

10．计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．

11．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，证明以下结论成立． （1）若 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a\gt 0)$ 上连续且为偶函数，则 $\displaystyle{\int}_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle{\int}_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2）若 $f(x)=f(x+T)$（ $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数），则 $$ \displaystyle{\int}_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x ; $$ （3） $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ．

2．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{5} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \frac{\mathrm{~d} u}{1+\sqrt{u}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^{3}}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x(1-\ln x)}} \mathrm{d} x($ 提示：令 $t=\ln x)$ ．

3．用定积分的分部积分法求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}-1} \ln (x+1) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \cos (\sqrt{x}-1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{8}} x \sin x \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ； ＊（13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{Z}^{+}\right)$．

4．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1}\left(\frac{x \sin ^{4} x}{1+x^{8}}+3 x^{2}|x|\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left|t^{2}-3 t+2\right| \mathrm{d} t$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\ln ^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

5．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5$ ，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ ．

6．已知 $\displaystyle{\int}_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $x$ ．

7．已知 $f(x)$ 满足方程 $$ f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 求 $f(x)$ 。

8．求函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} t(1+2 \ln t) \mathrm{d} t$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最大值与最小值．

9．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1\lt x\lt 0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．