习题3-7

1．求下列平面图形的面积： （1）由 $y^{2}=x$ 和 $y=x^{2}$ 所围成的图形； （2）由抛物线 $y+1=x^{2}$ 与直线 $y=1+x$ 所围成的图形； （3）由抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 所围成的图形； （4）由抛物线 $y=2 x-x^{2}$ 与直线 $x+y=0$ 所围成的图形； （5）由 $y^{2}=2 x$ 和 $y=x-4$ 所围成的图形； （6）由 $y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 和 $x=1$ 所围成的图形； （7）由曲线 $y=x^{3}-6 x$ 和 $y=x^{2}$ 所围成的图形； （8）由三次抛物线 $y=x^{3}$ 与直线 $y=2 x$ 所围成的平面图形； （9）由曲线 $x y=1$ 及直线 $y=x$ 和 $y=2$ 所围成的平面图形； （10）由曲线 $y=|\ln x|$ 与直线 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 和 $x$ 轴所围成的平面图形。

2．求拖物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和（ 3,0 ）处的切线所围平面图形的面积．

3．求下列平面图形的面积： （1）由摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形； （2）星形线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos ^{3} t, \\ y=a \sin ^{3} t\end{array}(a\gt 0)\right.$ 所围成的图形； ＊（3）由曲线 $\rho=\sqrt{2} \sin \theta$（圆周）和 $\rho^{2}=\cos 2 \theta$（双纽线）所围成图形的公共部分； ＊（4）由 $\rho=1$ 和 $\rho^{2}=2 \cos 2 \theta$ 所围成图形的公共部分．

4．求下列旋转体的体积： （1）曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=1, x=4$ 和 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （2）曲线 $y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $y=0, x=1$ 所围成的位于第一象限内的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （3）曲线 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 与 $x$ 轴在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （4）曲线 $y=x^{2}$ 和 $x=y^{2}$ 所围成的平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （5）曲线 $y=x^{2}$ 和 $y=2-x^{2}$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （6）已知抛物线 $y^{2}=8 x$ ，求 （1）抛物线在点 $(2,4)$ 处的法线方程， （2）抛物线 $y \geqslant 0$ 的部分及其在 $(2,4)$ 处的法线和 $x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （7）试用两种方法计算由 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体。

5．一物体，其底面是半径为 $r$ 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积。

6．立体底面为抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=1$ 围成的图形，而任一垂直于轴的截面分别为 （1）正方形，（2）等边三角形，（3）半圆形，求对应情况下立体的体积。

7．求下列曲线的弧长． （1）曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t)(a\gt 0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （2）抛物线 $y^{2}=2 p x$ 从顶点到该曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧； （3）曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 在 $0 \leqslant x \leqslant 4$ 一段的弧； （4）曲线 $y=\ln (\cos x)$ 在 $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 一段的弧； （5）曲线 $x=\frac{1}{4} y^{2}-\frac{1}{2} \ln y$ 在 $1 \leqslant y \leqslant \mathrm{e}$ 一段的弧； （6）曲线 $x=\arctan t, y=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)$ 自 $t=0$ 到 $t=1$ 的一段弧； （7）阿基米德螺线 $r=a \theta(a\gt 0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 到 $2 \pi$ 的弧； （8）极坐标系下曲线 $r=a\left(\sin \frac{\theta}{3}\right)^{3}(a\gt 0,0 \leqslant \theta \leqslant 3 \pi)$ ．

8．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标。

＊10．一圆柱形的容器高为 5 m ，底圆半径为 3 m ，容器内盛满水，若将其中的水全部抽出，需做多少功？

＊11．弹性体所受压缩之力 $F$ 与缩短距离 $x$ 之间的关系按胡克定律 $F=k x$ 计算，现有一个弹簧，原长为 1 m ，每压缩 1 cm ，需力 5 N ，若自 80 cm 压缩至 60 cm ，则做了多少功？

＊12．一横截面为等腰梯形的贮水池，梯形上底长 6 m ，下底长 4 m ，深 2 m ，长 8 m ，要把满池水全部抽到距水池上方 20 m 的水塔中，需做功多少？

＊13．一块底为 4 m 、高为 3 m 的等腰三角形平板铅直地置于水中，底边在上，平行于水面，位于水面下 1 m ，求该平板的一侧受到的水压力。

＊14．某下水道的横截面是直径为 3 m 的圆，水平铺设，下水道内水深 1.5 m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力。

＊9．一圆锥形容器，上底半径为 1 m ，高 3 m ，锥中盛水深 2 m ，如将水全部抽出，需做功多少？