习题3-8

1．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{5}^{+\infty} \frac{1}{x(x+5)} \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．

2．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{(1-x)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(2-x) \sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．

3．设反常积分 $I=\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ ，问：$k$ 为何值时，（1）$I$ 发散，（2）$I$ 收敛，（3）$I$ 取得最小值？ \begin{tabular}{|l|l|} \hline 不定积分 & \begin{tabular}{l} 理解原函数和不定积分的概念、性质，积分与微分的关系 \\ 会求不定积分（基本公式、线性运算、凑微分法、换元技巧、分部积分） \end{tabular} \\ \hline 定积分 & \begin{tabular}{l} 理解 定积分的概念与性质 \\ 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 \\ 会求定积分、广义积分 \end{tabular} \\ \hline 定积分应用 & \begin{tabular}{l} □定积分求几何问题（面积、体积、弧长）<img src="https://cdn.mathpix.com/cropped/47bc7961-a74f-420f-9eb2-297b2b074422-225.jpg?height=41\&width=61\&top_left_y=950\&top_left_x=505" style="max-width:100%;height:auto;"> \\ 定积分求物理问题（变力做功、侧压力） \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}