习题4-1

section*{1．选择题} （1）微分方程 $x y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}=x^{5}$ 的阶数是（ ）； A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 （2）微分方程 $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的阶数是（ ）； A． 1 B． 3 C． 2 D． 0 （3）下列方程中，不是微分方程的是（）； A．$\left(y^{\prime}\right)^{2}+3 y=0$ B． $\mathrm{d} y+\frac{1}{x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{~d} x$ C．$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x-y}$ D．$x^{2}+y^{2}=K^{2}$ （4）下列函数中，（ ）是微分方程 $\mathrm{d} y-2 x \mathrm{~d} x=0$ 的解； A．$y=2 x$ B．$y=-2 x$ C．$y=-x$ D．$y=x^{2}$ （5）方程 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}+3 \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{x}=1$ 的通解应该包含的常数的个数为（）。 A． 2 B． 3 C． 1 D． 0

2．指出下列方程哪些是微分方程，并指出方程的阶数。 （1）$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$ ； （3）$y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$ ； （4） $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$ ； （5）$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$ ； （6）$y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$ ．

3．验证函数 $x=C_{1} \cos k t+C_{2} \sin k t$ 是微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+k^{2} x=0$ 的解．并求满足初始条件 $\left.x\right|_{t=0} =A,\left.\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0$ 的特解．

4．确定下列函数中 $C_{1}, C_{2}$ 的值，使得函数满足所给定的条件． （1）$y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （2）$y=\left(C_{1}+x C_{2}\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．

5．试求下列微分方程在指定形式下的解． （1）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$ ，形如 $y=\mathrm{e}^{r x}$ 的解； （2）$x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0$ ，形如 $y=x^{\lambda}$ 的解。

6．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在点 $(x, y)$ 处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方； （2）曲线在点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $y$ 轴平分； （3）曲线在点 $M(x, y)$ 处的切线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点分别为 $P 、 Q$ ，线段 $P Q$ 被点 $M$ 平分，且曲线通过点 $(3,1)$ ．

7．已知曲线过点 $(1,2)$ ，且在该曲线上任意点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $3 x^{2}$ ，求此曲线方程．