习题4-2

1．求下列可分离变量微分方程的通解： （1）$x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=0$ ； （2）$x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$x \mathrm{~d} y+\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x$ ； （4）$\frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y-\frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x=0$ ； （5）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （6）$y \ln x \mathrm{~d} x+x \ln y \mathrm{~d} y=0$ ； （7） $\cos ^{2} x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y=0$ ； （8）$x\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+y\left(x^{2}-1\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列齐次方程的通解： （1）$y^{2}+x^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-x y+y^{2}}=\frac{\mathrm{d} y}{2 y^{2}-x y}$ ； （3）$x(\ln x-\ln y) \mathrm{d} y-y \mathrm{~d} x=0$ ； （4）$\left(x+y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-x \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=0$ ．

3．求下列一阶线性微分方程的通解： （1）$y^{\prime}-\frac{1}{x} y=\frac{1}{1+x}$ ； （2）$y^{\prime}=-2 x y+2 x e^{-x^{2}}$ ； （3）$y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime}+2 x y=4 x$ ； （5）$x y^{\prime}=x-y$ ； （6）$\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}+2 x y=4 x^{2}$ ； （7）$x y^{\prime}+(1-x) y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （8）$\left(y^{2}-6 x\right) y^{\prime}+2 y=0$ ．

4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$\left\{\begin{array}{c}y^{\prime} \sin x=y \ln y, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}(y+3) \mathrm{d} x+\cot x \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1 ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （5）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y}, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （6）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=3, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （7）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}, \\ \left.y\right|_{x=1}=1 ;\end{array}\right.$ （8）$\left\{\begin{array}{l}\sin x \cos y \mathrm{~d} x=\cos x \sin y \mathrm{~d} y, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （9）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （10）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=\sin x, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0 ;\end{array}\right.$ （11）$\left\{\begin{array}{l}2 x y^{\prime}=y-x^{3}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （12）$\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}+(1-2 x) y=x^{2}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （13）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime} \cos ^{2} x+y=\tan x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （14）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x}, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4 .\end{array}\right.$

5．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴之间的任意切线均被切点所平分，求该曲线的方程．

6．求一曲线方程，该曲线过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ．

7．方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[2 y(t)+\sqrt{t^{2}+y^{2}(t)}\right] \mathrm{d} t=x y(x)$ 是否为齐次方程？

＊8．求微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{2} \tan ^{2}(x+2 y)$ 的通解．

＊9．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\cos \frac{x-y}{2}=\cos \frac{x+y}{2}$ 的通解．