习题4-3

1．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=2 x \ln x$ ； （5）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （7）$y^{\prime \prime}=1+\left(y^{\prime}\right)^{2}$ ； （8）$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=1$ ．

10．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （2）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （4）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ； （5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2(1-x),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （6）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．

2．求下列微分方程满足初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （2）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=3,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ．

3．求微分方程 $\left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+\frac{1}{y^{2}}=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1\end{array}\right.$ 的通解．

4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $P(0,1)$ 且在此点处与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线方程．

5．下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？ （1） $\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （2） $\mathrm{e}^{a x}, \mathrm{e}^{b x}(a \neq b)$ ．

6．求下列微分方程的通解： （1） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}-11 y=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$ ； （8）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （10）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （11）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （12）$y^{(4)}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ ．

7．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ； （2）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （3）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （4）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （6）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （7）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （8）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=-1$ ．

8．已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解： （1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程； （3）求此微分方程满足 $y(0)=7, y^{\prime}(0)=6$ 的特解．

9．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （3）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=7 \mathrm{e}^{-x}$ ； （6）$y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （8） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （9）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 \sin x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\cos 2 x$ ．