习题4-4

1．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，外力与时间成正比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速率为 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ 。从运动开始经过 1 min 后的速率是多少？

2．镭的衰变与它的现存量 $R$ 成正比，经过 1600 年以后，只余下原始量 $R_{0}$ 的一半。试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．

3．将质量为 $m$ 的物体垂直上抛，假设初始速度为 $v_{0}$ ，空气阻力与速度成正比（比例系数为 $k)$ ，试求在物体上升过程中速度 $v$ 与时间 $t$ 的函数关系．

4．在 $O x$ 轴上，一质量为 $m$ 的质点受力 $A \cos \omega t$ 而运动，初始条件为 $\left.x\right|_{t=0}=a,\left.v\right|_{t=0}=$ 0 ，求该质点的运动方程．

5．一质量为 $m$ 的物体，在黏性液体中由静止自由下落。假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律．

6．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 基本概念 & 了解微分方程、阶、通解、特解、初始条件、初值问题的概念 \\ \hline 一阶微分方程 & \begin{tabular}{l} 掌握可分离变量方程和齐次方程的解法 \\ 会求一阶线性微分方程的解 \end{tabular} \\ \hline 二阶微分方程 & \begin{tabular}{l} 了解 二阶微分方程解的结构 \\ 会求 可降阶的二阶微分方程的解 \\ 掌握二阶齐次线性微分方程的解法 \\ 会求二阶非齐次线性微分方程（两种基本类型） \end{tabular} \\ \hline 微分方程应用 & 会用微分方程求解一些简单的几何问题和物理问题 \\ \hline \end{tabular}