📝 题目
1．设 $A, B$ 分别为下列两个给定的集合： （1）$A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{2,4,6,8\}$ ； （2）$A=\mathbf{Z}^{+}, B=\mathbf{N}$ ； （3）$A=\{x \mid 3\lt x\lt 5\}, B=\{x \mid x\gt 4\}$ ； （4）$A=\left\{x \mid x^{2}+x-6\lt 0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \leqslant 0\right\}$ ； 试求 $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答。
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### （1） $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{2,4,6,8\}$
- 并集： $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}$
- 交集： $A \cap B = \{2,4\}$
- 差集 $A \backslash B$： $A \backslash B = \{1,3,5\}$
- 差集 $B \backslash A$： $B \backslash A = \{6,8\}$
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### （2） $A=\mathbf{Z}^{+}, B=\mathbf{N}$ 其中 $\mathbf{Z}^{+} = \{1,2,3,\dots\}$，$\mathbf{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$
- 并集： $A \cup B = \mathbf{N}$ （因为 $\mathbf{Z}^{+} \subset \mathbf{N}$）
- 交集： $A \cap B = \mathbf{Z}^{+}$ （即正整数集）
- 差集 $A \backslash B$： $A \backslash B = \varnothing$ （$A$ 中所有元素都在 $B$ 中）
- 差集 $B \backslash A$： $B \backslash A = \{0\}$
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### （3） $A=\{x \mid 3 < x < 5\}, B=\{x \mid x > 4\}$
- 并集： $A \cup B = \{x \mid x > 3\}$，即 $(3, +\infty)$
- 交集： $A \cap B = \{x \mid 4 < x < 5\}$，即 $(4,5)$
- 差集 $A \backslash B$： $A \backslash B = \{x \mid 3 < x \leq 4\}$，即 $(3,4]$
- 差集 $B \backslash A$： $B \backslash A = \{x \mid x \geq 5\}$，即 $[5, +\infty)$
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### （4） 先解不等式：
$A = \{x \mid x^2 + x - 6 < 0\}$ 解 $x^2 + x - 6 = 0$ 得 $x = -3$ 或 $x = 2$，二次项系数为正，开口向上， 所以 $x^2 + x - 6 < 0$ 的解为 $-3 < x < 2$，即 $A = (-3, 2)$
$B = \{x \mid x^2 - 2x - 3 \leq 0\}$ 解 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 得 $x = -1$ 或 $x = 3$，开口向上， 所以 $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ 的解为 $-1 \leq x \leq 3$，即 $B = [-1, 3]$
- 并集： $A \cup B = (-3, 3]$
- 交集： $A \cap B = [-1, 2)$
- 差集 $A \backslash B$： $A \backslash B = (-3, -1)$
- 差集 $B \backslash A$： $B \backslash A = [2, 3]$
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以上即为全部解答。