📝 题目
11．设 $f\left(\frac{1-x}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2 x^{2}-2 x+1}-1(x \neq 0)$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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令 $t = \frac{1-x}{x}$，则 $$ t = \frac{1}{x} - 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x} = t + 1 $$ 从而 $$ x = \frac{1}{t+1} $$
将 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 用 $t$ 表示，代入原表达式：
原式： $$ f\left(\frac{1-x}{x}\right) = \frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2x^{2} - 2x + 1} - 1 $$
先计算 $x^2$： $$ x^2 = \frac{1}{(t+1)^2} $$
再计算分母 $2x^2 - 2x + 1$： $$ 2x^2 = \frac{2}{(t+1)^2}, \quad 2x = \frac{2}{t+1} $$ 所以 $$ 2x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{(t+1)^2} - \frac{2}{t+1} + 1 $$ 通分，公分母为 $(t+1)^2$： $$ = \frac{2 - 2(t+1) + (t+1)^2}{(t+1)^2} = \frac{2 - 2t - 2 + (t^2 + 2t + 1)}{(t+1)^2} = \frac{t^2 + 1}{(t+1)^2} $$
于是第二项为： $$ \frac{x^2}{2x^2 - 2x + 1} = \frac{\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}}{\displaystyle\frac{t^2+1}{(t+1)^2}} = \frac{1}{t^2+1} $$
第一项 $\frac{1}{x} = t+1$，所以原式化为： $$ f(t) = (t+1) + \frac{1}{t^2+1} - 1 = t + \frac{1}{t^2+1} $$
因此，将 $t$ 换回 $x$，得： $$ \boxed{f(x)=x+\frac{1}{x^{2}+1}} $$