📝 题目
12．设 $f(x)=3 x^{2}+4 x, \varphi(t)=\lg (1+t)$ ，求 $f[\varphi(t)], \varphi[f(x)]$ 及其定义域．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知 $f(x)=3x^2+4x$， $\varphi(t)=\lg(1+t)$，其中 $\lg$ 表示以10为底的对数。
---
**1. 求 $f[\varphi(t)]$**
首先代入： $$ f[\varphi(t)] = 3[\varphi(t)]^2 + 4\varphi(t) = 3[\lg(1+t)]^2 + 4\lg(1+t) $$
定义域要求：$\varphi(t)$ 有意义，即 $1+t > 0 \Rightarrow t > -1$。 此外，$f$ 本身对自变量没有额外限制（多项式），所以定义域就是 $$ t > -1 $$
因此： $$ f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t), \quad t > -1 $$
---
**2. 求 $\varphi[f(x)]$**
代入： $$ \varphi[f(x)] = \lg[1 + f(x)] = \lg(1 + 3x^2 + 4x) = \lg(3x^2 + 4x + 1) $$
定义域要求： $$ 3x^2 + 4x + 1 > 0 $$
解二次不等式： 先求根 $$ 3x^2 + 4x + 1 = 0 $$ 判别式 $\Delta = 16 - 12 = 4$， 根为 $$ x = \frac{-4 \pm 2}{6} $$ 即 $$ x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -1 $$
由于二次项系数 $3>0$，抛物线开口向上，因此 $3x^2+4x+1 > 0$ 的解为 $$ x < -1 \quad \text{或} \quad x > -\frac{1}{3} $$
因此： $$ \varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1), \quad x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) $$
---
**最终答案：**
- $f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t)$，定义域 $t > -1$ - $\varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1)$，定义域 $x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$