📝 题目
6．求下列函数的定义域： （1）$y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$ ； （2）$y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$ ； （4）$y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$ ； （5）$y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$ ； （6）$y=\frac{1}{[x+1]}$ ； （7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$ ； （8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答。
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### （1）$y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$
**解**： 分母不能为零，且根号内必须为正，因此 $$ x^2 - 5x + 6 > 0 $$ 因式分解得 $$ (x-2)(x-3) > 0 $$ 解得 $$ x < 2 \quad \text{或} \quad x > 3 $$ 故定义域为 $$ \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)} $$
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### （2）$y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$
**解**： 平方根要求 $3x+2 \ge 0$，即 $$ x \ge -\frac{2}{3} $$ 反三角函数 $\arcsin u$ 要求 $|u| \le 1$，即 $$ \left|\frac{x-1}{2}\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad -1 \le \frac{x-1}{2} \le 1 $$ 解得 $$ -2 \le x-1 \le 2 \quad\Rightarrow\quad -1 \le x \le 3 $$ 取交集得 $$ -\frac{2}{3} \le x \le 3 $$ 故定义域为 $$ \boxed{\left[-\frac{2}{3}, 3\right]} $$
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### （3）$y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$
**解**： 平方根要求 $x \ge 0$。 立方根对分母无限制，但分母不能为零，即 $x-2 \neq 0$，得 $x \neq 2$。 取交集得 $$ x \ge 0 \quad\text{且}\quad x \neq 2 $$ 故定义域为 $$ \boxed{[0,2) \cup (2, +\infty)} $$
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### （4）$y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$
**解**： 对数要求 $\frac{1}{1-x} > 0$，即 $1-x > 0$，得 $x < 1$。 平方根要求 $x+2 \ge 0$，得 $x \ge -2$。 取交集得 $$ -2 \le x < 1 $$ 故定义域为 $$ \boxed{[-2,1)} $$
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### （5）$y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$
**解**： 分母要求 $|x|-x \neq 0$。 - 当 $x \ge 0$ 时，$|x|-x = 0$，不满足； - 当 $x < 0$ 时，$|x|-x = -x - x = -2x \neq 0$，成立。 因此 $x < 0$。
平方根要求 $\ln(3+x) \ge 0$，即 $3+x \ge 1$，得 $x \ge -2$。 取交集得 $$ -2 \le x < 0 $$ 故定义域为 $$ \boxed{[-2,0)} $$
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### （6）$y=\frac{1}{[x+1]}$
**解**： $[x+1]$ 表示取整函数，分母不能为零，即 $[x+1] \neq 0$。 $[x+1] = 0$ 等价于 $0 \le x+1 < 1$，即 $-1 \le x < 0$。 因此 $x$ 不能取 $[-1,0)$ 中的值。 故定义域为 $$ \boxed{(-\infty,-1) \cup [0,+\infty)} $$
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### （7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$
**解**： 要求 $x^2+1 \in [1,2]$，即 $$ 1 \le x^2+1 \le 2 $$ 左边恒成立，右边得 $x^2 \le 1$，即 $-1 \le x \le 1$。 故定义域为 $$ \boxed{[-1,1]} $$
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### （8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$
**解**： 两个自变量都必须属于 $[0,1)$，即 $$ 0 \le \sin x < 1 \quad\text{且}\quad 0 \le \ln x < 1 $$ 由 $\sin x$ 条件得 $x \in \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} [2k\pi, (2k+1)\pi) \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}$（因为 $\sin x=1$ 时取不到）。 由 $\ln x$ 条件得 $1 \le x < e$。 取交集，主要考虑 $x$ 在 $[1,e)$ 范围内，此时 $\sin x$ 需满足条件。 在 $[1,e)$ 中，$\sin x$ 始终小于1，且当 $x \in [1,\pi)$ 时 $\sin x \ge 0$，而 $\pi \approx 3.14 > e \approx 2.718$，所以 $[1,e) \subset [1,\pi)$，故 $\sin x \ge 0$ 成立。 因此交集为 $$ 1 \le x < e $$ 故定义域为 $$ \boxed{[1,e)} $$