📝 题目
1．下列各题中的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，哪些收敛？哪些发散？对于收敛数列，通过观察得出数列的极限： （1）$x_{n}=\frac{1}{a^{n}}(a\gt 1)$ ； （2）$x_{n}=2^{\frac{1}{n}}$ ； （3）$x_{n}=(-1)^{n} n$ ； （4）$x_{n}=\frac{n+2}{n+3}$ ； （5）$x_{n}=\frac{n}{2^{n}}$ ； （6）$x_{n}=\ln \frac{1}{n}$ ； （7）$x_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}$ ； （8）$x_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}$ ； （9）$x_{n}=0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n}$ ； （10）$x_{n}=\frac{\sin n}{(n+1)^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是对习题1-2中10个小题的详细解答。 我们将逐一判断数列的收敛性，若收敛则指出极限，并给出简要理由。
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**(1)** $x_n = \frac{1}{a^n} \quad (a>1)$
由于 $a>1$，当 $n\to\infty$ 时，$a^n \to +\infty$，因此 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 $$ 数列收敛，极限为 $0$。
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**(2)** $x_n = 2^{\frac{1}{n}}$
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\to 0$，而指数函数连续，故 $$ \lim_{n\to\infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^0 = 1 $$ 数列收敛，极限为 $1$。
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**(3)** $x_n = (-1)^n n$
当 $n$ 为偶数时，$x_n = n \to +\infty$；当 $n$ 为奇数时，$x_n = -n \to -\infty$。 数列不趋向于一个确定的有限数，故发散。
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**(4)** $x_n = \frac{n+2}{n+3}$
将分子分母同除以 $n$： $$ x_n = \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \to \frac{1+0}{1+0} = 1 $$ 数列收敛，极限为 $1$。
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**(5)** $x_n = \frac{n}{2^n}$
当 $n$ 充分大时，指数增长远快于线性增长，故 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^n} = 0 $$ （也可用比值法或洛必达法则验证） 数列收敛，极限为 $0$。
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**(6)** $x_n = \ln \frac{1}{n} = -\ln n$
当 $n\to\infty$ 时，$\ln n \to +\infty$，因此 $-\ln n \to -\infty$，不趋于有限数。 数列发散。
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**(7)** $x_n = \frac{n}{n^2+1}$
分子分母同除以 $n$： $$ x_n = \frac{1}{n + \frac{1}{n}} \to 0 $$ 数列收敛，极限为 $0$。
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**(8)** $x_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}$
化简： $$ x_n = \frac{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})}}{n} = \frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \to 1 $$ 数列收敛，极限为 $1$。
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**(9)** $x_n = 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{个}9}$
该数列为 $0.9, 0.99, 0.999, \dots$，显然单调递增且有上界 $1$，极限为 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 1 $$ 数列收敛，极限为 $1$。
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**(10)** $x_n = \frac{\sin n}{(n+1)^2}$
由于 $|\sin n| \le 1$，故 $$ 0 \le |x_n| \le \frac{1}{(n+1)^2} \to 0 $$ 由夹逼定理，$x_n \to 0$。 数列收敛，极限为 $0$。
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**总结答案**： 收敛数列：(1)、(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)、(10) 发散数列：(3)、(6)