📝 题目
2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+3 n}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2 n^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}-\frac{n}{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n^{2}]{2} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{2}} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{3}} \cdots \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{n}}\right)$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各极限的详细解答：
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### （1） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{n^{2}-1}{2n^{2}+3n}$$
分子分母同除以 $n^2$： $$\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n}} = \frac{1-0}{2+0} = \frac12$$
**答案：** $\dfrac12$
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### （2） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2n^{3}}$$
展开分子最高次为 $n^3$，系数为 $1$，分母为 $2n^3$，故： $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{2n^3} = \frac12$$
**答案：** $\dfrac12$
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### （3） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$$
分子分母同除以 $3^n$： $$\lim_{n\to\infty}\frac{(2/3)^n + 1/3^n}{1 - 1/3^n} = \frac{0+0}{1-0}=0$$
**答案：** $0$
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### （4） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$$
已知公式： $$1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 代入： $$\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac1n)(2+\frac1n)}{6} = \frac{2}{6} = \frac13$$
**答案：** $\dfrac13$
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### （5） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}-\frac{n}{2}\right)$$
$$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 所以： $$\frac{n(n+1)}{2n} - \frac{n}{2} = \frac{n+1}{2} - \frac{n}{2} = \frac12$$
**答案：** $\dfrac12$
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### （6） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)$$
有理化： $$\frac{(n^2+n)-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}} = \frac{n-1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$$ 分子分母同除以 $n$： $$\frac{1-\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1+\frac1{n^2}}} \to \frac{1}{1+1} = \frac12$$
**答案：** $\dfrac12$
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### （7） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)$$
有理化： $$n\left(\frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) = n\cdot\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1\right)}$$ 化简： $$\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1} \to \frac{1}{1+1} = \frac12$$
**答案：** $\dfrac12$
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### （8） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\sqrt[n^{2}]{2} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{2}} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{3}} \cdots \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{n}}\right)$$
乘积化为： $$\prod_{k=1}^n 2^{k/n^2} = 2^{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k} = 2^{\frac{n(n+1)}{2n^2}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}}$$ 当 $n\to\infty$，指数趋于 $\frac12$，故极限为： $$\sqrt{2}$$
**答案：** $\sqrt{2}$
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### （9） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]$$
利用求和公式： $$\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}} - \sqrt{\frac{(n-1)n}{2}}$$ 有理化： $$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}} = \frac{n}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}}$$ 分子分母同除以 $\sqrt{n}$： $$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{n+1}{2}}+\sqrt{\frac{n-1}{2}}} \to \infty?$$ 更精确：分子为 $\sqrt{n}$，分母趋于 $2\cdot\sqrt{\frac{n}{2}}=\sqrt{2n}$，故比值为： $$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
**答案：** $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
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### （10） $$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})$$
有理化： $$\frac{(n+3\sqrt{n})-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} = \frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}$$ 分子分母同除以 $\sqrt{n}$： $$\frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}} \to \frac{4}{1+1} = 2$$
**答案：** $2$