📝 题目
3．已知 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0$ ，求 $k$ 的值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知 $$ \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0 $$ 我们需要确定常数 $k$。
首先分析分母 $n^{k} - (n-1)^{k}$。利用二项式展开： $$ (n-1)^{k} = n^{k} - k n^{k-1} + \frac{k(k-1)}{2} n^{k-2} - \cdots + (-1)^{k} $$ 因此 $$ n^{k} - (n-1)^{k} = k n^{k-1} - \frac{k(k-1)}{2} n^{k-2} + \cdots $$ 当 $n \to \infty$ 时，主导项为 $k n^{k-1}$。
于是原极限可写为 $$ \displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{n^{2016}}{k n^{k-1} + \text{低阶项}} = \frac{1}{k} \displaystyle{\lim}_{n \to \infty} n^{2016 - (k-1)} $$ 要使极限为非零常数 $A$，必须使 $n$ 的指数为零，即 $$ 2016 - (k-1) = 0 $$ 解得 $$ k = 2017 $$ 此时极限值为 $$ A = \frac{1}{k} = \frac{1}{2017} $$ 符合 $A \neq 0$ 的条件。
因此，$k$ 的值为 $$ \boxed{2017} $$