📝 题目
＊4．下列说法作为 $a$ 是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限，哪些是对的？哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于无穷多个 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，任给 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $n\gt N$ ，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n \geqslant N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （4）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt k \varepsilon, k \in \mathbf{R}^{+}$成立； （5）对于任给的 $m \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们来逐一分析每个说法，判断其是否为数列极限定义的等价或正确表述。数列极限的标准定义是： 对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，恒有 $|x_n - a|<\varepsilon$。
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**(1)** 对于无穷多个 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbf{Z}^+$，当 $n>N$ 时，使得不等式 $|x_n-a|<\varepsilon$ 成立。
**判断：错误。** 理由：极限定义要求对 **每一个** $\varepsilon>0$ 都成立，而不仅仅是无穷多个。例如，取数列 $x_n=(-1)^n$，$a=0$。对于 $\varepsilon=2$，显然有无穷多个 $\varepsilon$（例如所有大于1的数）都能找到 $N$ 使不等式成立，但该数列并不收敛于0。 反例：$x_n=(-1)^n$，$a=0$，取 $\varepsilon=1.5$ 有无穷多个，但极限不存在。
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**(2)** 对于任给的 $\varepsilon>0$，任给 $N\in\mathbf{Z}^+$，存在 $n>N$，使得不等式 $|x_n-a|<\varepsilon$ 成立。
**判断：错误。** 理由：定义要求当 $n>N$ 时 **所有** 项都满足不等式，而不是仅仅存在某一个 $n$。例如，取 $x_n=0$ 当 $n$ 为偶数，$x_n=1$ 当 $n$ 为奇数，$a=0$。对 $\varepsilon=0.5$，任意 $N$ 我们总可以取一个大于 $N$ 的偶数 $n$ 使 $|x_n-0|=0<0.5$，但奇数项不满足，所以不是极限。 反例：$x_n = \begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\1, & n\text{为奇数}\end{cases}$，$a=0$。
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**(3)** 对于任给的 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbf{Z}^+$，当 $n\geqslant N$ 时，使得不等式 $|x_n-a|<\varepsilon$ 成立。
**判断：正确。** 理由：与标准定义中 $n>N$ 本质上等价，因为 $n\geq N$ 与 $n>N-1$ 只是指标偏移，不影响极限性质。所以这是极限定义的等价形式。
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**(4)** 对于任给的 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbf{Z}^+$，当 $n>N$ 时，使得不等式 $|x_n-a| **判断：正确。** 理由：因为 $k$ 是固定的正实数，对任意给定的 $\varepsilon>0$，令 $\varepsilon' = k\varepsilon$，则 $\varepsilon'$ 也可以取遍所有正数（当 $\varepsilon$ 取遍所有正数时）。因此该条件与标准定义等价。注意这里 $k$ 是固定的常数，不是依赖于 $\varepsilon$ 的变量。 --- **(5)** 对于任给的 $m\in\mathbf{Z}^+$，存在 $N\in\mathbf{Z}^+$，当 $n>N$ 时，使得不等式 $|x_n-a|<\frac{1}{m}$ 成立。 **判断：正确。** 理由：因为 $\frac{1}{m}$ 可以取遍所有正数（当 $m$ 取遍所有正整数时，$\frac{1}{m}$ 趋近于0，且任意 $\varepsilon>0$ 总存在 $m$ 使 $\frac{1}{m}<\varepsilon$），所以该条件等价于标准定义。这是极限定义的常用等价形式之一。 --- **总结答案：** (1) 错 (2) 错 (3) 对 (4) 对 (5) 对