📝 题目
＊5．下列结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请举出反例． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ； （2）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a(a \neq 0)$ ； （3）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （4）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （5）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)$ 必不存在； （6）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 结论成立。
**证明**：由极限定义，若 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} x_n = a$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \varepsilon$。 由绝对值不等式 $|\,|x_n| - |a|\,| \le |x_n - a| < \varepsilon$，因此 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} |x_n| = |a|$。
---
**（2）** 结论不成立。
**反例**：取 $x_n = (-1)^n$，$a = 1$。 则 $|x_n| = 1$，故 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} |x_n| = 1 = |a|$，但 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} x_n$ 不存在（振荡），更不可能等于 $a$。
---
**（3）** 结论不成立。
**反例**：取 $x_n = (-1)^n$，$y_n = (-1)^{n+1}$，则两者极限均不存在，但 $x_n + y_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} = 0$，极限为 $0$，存在。
---
**（4）** 结论成立。
**证明**：反证法。假设 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} (x_n + y_n)$ 存在，且 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} y_n$ 存在，则由极限运算法则 $x_n = (x_n + y_n) - y_n$ 的极限应存在（两个存在极限的差），与已知 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} x_n$ 不存在矛盾。故假设不成立，原结论成立。
---
**（5）** 结论不成立。
**反例**：取 $x_n = 0$（极限存在为 $0$），$y_n = (-1)^n$（极限不存在），则 $x_n \cdot y_n = 0$，极限为 $0$，存在。
---
**（6）** 结论不成立。
**反例**：取 $x_n = \frac{1}{2^n}$，则 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} x_n = 0$，但 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{1/2^{n+1}}{1/2^n} = \frac12 \neq 1$。 注意：当 $a \neq 0$ 时结论才成立（可用极限运算法则证明），但题目未要求 $a \neq 0$，故反例成立。