📝 题目
3．试求常数 $a$ 与 $b$ 的值，使得 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+4 x+1}-a x-b\right)=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求极限 $$ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - a x - b \right) = 0 $$ 中的常数 $a$ 与 $b$。
**第一步：分析无穷大行为**
当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{3x^2 + 4x + 1}$ 的主要项是 $\sqrt{3}\,x$。为了使极限为有限值，必须消去 $x$ 的一次项，因此取 $$ a = \sqrt{3}. $$
**第二步：确定 $b$**
将 $a = \sqrt{3}$ 代入，考虑极限 $$ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x - b \right). $$ 先处理根号部分减去 $\sqrt{3}x$ 的差，采用有理化方法： $$ \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x = \frac{(3x^2 + 4x + 1) - 3x^2}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x} = \frac{4x + 1}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x}. $$
**第三步：求该差当 $x \to +\infty$ 时的极限**
分母中，当 $x$ 很大时， $$ \sqrt{3x^2 + 4x + 1} \sim \sqrt{3}\,x \sqrt{1 + \frac{4}{3x} + \frac{1}{3x^2}} \sim \sqrt{3}\,x \left(1 + \frac{2}{3x} + \cdots\right), $$ 但更直接的做法是提取 $x$： $$ \sqrt{3x^2 + 4x + 1} = x\sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}, \quad \sqrt{3}\,x = x\sqrt{3}. $$ 于是 $$ \frac{4x + 1}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x} = \frac{x\left(4 + \frac{1}{x}\right)}{x\left( \sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3} \right)} = \frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3}}. $$ 当 $x \to +\infty$ 时，分子趋于 $4$，分母趋于 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，因此 $$ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x \right) = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$
**第四步：确定 $b$**
原极限为 $$ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x - b \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} - b. $$ 令其等于 $0$，得 $$ b = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$
**最终答案：** $$ \boxed{a = \sqrt{3},\quad b = \frac{2}{\sqrt{3}}} $$