📝 题目
4．设 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-a x^{2}-x+4}{x+1}$ 存在且为 $l$ ，求 $a$ 与 $l$ 的值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
由于极限存在且分母趋于0，分子也必须趋于0，否则极限为无穷大。因此，令分子在$x=-1$时为零：
$$ \displaystyle{\lim}_{x \to -1} (x^3 - a x^2 - x + 4) = (-1)^3 - a(-1)^2 - (-1) + 4 = -1 - a + 1 + 4 = 4 - a = 0 $$
解得 $a = 4$。
此时极限为 $\displaystyle{\lim}_{x \to -1} \frac{x^3 - 4x^2 - x + 4}{x+1}$ 的 $0/0$ 型未定式，可因式分解分子。用多项式除法或因式分解：
将 $x^3 - 4x^2 - x + 4$ 除以 $x+1$，由于已知 $x=-1$ 是根，可用综合除法：
系数：1, -4, -1, 4 除以 $x+1$（即用 -1 试除）： - 落1，乘-1得-1，加-4得-5 - 乘-1得5，加-1得4 - 乘-1得-4，加4得0
所以商式为 $x^2 - 5x + 4$，即
$$ x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x+1)(x^2 - 5x + 4) $$
于是
$$ \displaystyle{\lim}_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2 - 5x + 4)}{x+1} = \displaystyle{\lim}_{x \to -1} (x^2 - 5x + 4) $$
代入 $x = -1$ 得：
$$ (-1)^2 - 5(-1) + 4 = 1 + 5 + 4 = 10 $$
因此 $l = 10$。
**答案**：$a = 4$，$l = 10$。