📝 题目
＊5．证明： $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 的充要条件是 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设函数 $f(x)$ 在 $x$ 充分大和充分小（即 $|x|$ 充分大）时有定义。我们需要证明：
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A \quad \iff \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \quad \text{且} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = A. $$
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### 1. 必要性（$\Rightarrow$）
假设 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x) = A}$。 由定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
- 当 $x > X$ 时，自然有 $|x| > X$，因此 $|f(x) - A| < \varepsilon$，这说明 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = A}$。 - 当 $x < -X$ 时，也有 $|x| > X$，因此 $|f(x) - A| < \varepsilon$，这说明 $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f(x) = A}$。
必要性得证。
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### 2. 充分性（$\Leftarrow$）
假设 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = A}$ 且 $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f(x) = A}$。 由定义：
- 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X_1 > 0$，使得当 $x > X_1$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。 - 同时存在 $X_2 > 0$，使得当 $x < -X_2$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
取 $X = \max\{X_1, X_2\}$，则当 $|x| > X$ 时，要么 $x > X \ge X_1$，要么 $x < -X \le -X_2$，两种情况都满足 $|f(x) - A| < \varepsilon$。 因此 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x) = A}$。
充分性得证。
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综上，原命题成立。