📝 题目
1．已知 $x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限为 0 ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：已知 $$ x_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} $$ 证明数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $0$。
**证明**： 我们要证明 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 $$ 即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $$ |x_n - 0| < \varepsilon . $$
首先计算 $|x_n - 0|$： $$ |x_n| = \left| \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} \right| = \frac{1}{(n+1)^2}. $$
因此，要使 $|x_n| < \varepsilon$，只需 $$ \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad (n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Leftrightarrow \quad n+1 > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}. $$
即 $$ n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1. $$
取正整数 $$ N = \max\left\{ 1, \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1 \right\rfloor + 1 \right\}, $$ 则当 $n > N$ 时，必有 $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1$，从而 $$ |x_n - 0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon . $$
由极限定义可知 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 . $$
证毕。