📝 题目
2．证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 要证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$，我们采用极限的定义或直接化简法。
首先，注意到当 $x \neq 1$ 时，分子可以因式分解： $$ \frac{x^{2}-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \quad (x \neq 1). $$
因此，函数在 $x=1$ 附近（除了 $x=1$ 本身）与 $x+1$ 完全相同。于是极限计算为： $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} (x+1) = 1+1 = 2. $$
**结论**：极限值为 $2$，得证。