📝 题目
3．用函数极限的定义证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 要证明 $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$，根据函数极限的定义，即需证明： 对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时，有 $$ \left| \arctan x - \frac{\pi}{2} \right| < \varepsilon . $$
由于 $\arctan x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上单调递增，且当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，我们有 $$ \arctan x < \frac{\pi}{2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}. $$ 因此 $$ \left| \arctan x - \frac{\pi}{2} \right| = \frac{\pi}{2} - \arctan x . $$
利用三角恒等式： $$ \frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}, \quad x > 0 . $$ 这是因为 $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$，取 $\theta = \arctan x$ 即得。
于是问题转化为：对任意 $\varepsilon > 0$，要存在 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时， $$ \arctan \frac{1}{x} < \varepsilon . $$
由于 $\arctan t$ 在 $t > 0$ 时是增函数，且 $\arctan t < t$ 对 $t > 0$ 成立（因为 $\arctan t = \int_0^t \frac{1}{1+u^2} du < \int_0^t 1 du = t$），所以 $$ \arctan \frac{1}{x} < \frac{1}{x}. $$ 因此，只需 $\frac{1}{x} < \varepsilon$，即 $x > \frac{1}{\varepsilon}$ 即可。
取 $X = \frac{1}{\varepsilon}$，则当 $x > X$ 时，有 $$ \left| \arctan x - \frac{\pi}{2} \right| = \arctan \frac{1}{x} < \frac{1}{x} < \varepsilon . $$
由极限定义，$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$ 得证。