📝 题目
4．用数列极限定义证明： （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ 。
💡 答案与解析
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**习题4．用数列极限定义证明：**
**（1）** 如果 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} x_n = a$，则 $\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k} = a$，$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k+1} = a$。
**证明：** 由已知，$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} x_n = a$，根据数列极限的定义： 对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $$|x_n - a| < \varepsilon.$$
- 对于子列 $\{x_{2k}\}$： 当 $k > \frac{N}{2}$ 时，有 $2k > N$，从而 $|x_{2k} - a| < \varepsilon$。 因此，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $K_1 = \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor + 1$，则当 $k > K_1$ 时，$|x_{2k} - a| < \varepsilon$，即 $$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k} = a.$$
- 对于子列 $\{x_{2k+1}\}$： 当 $k > \frac{N-1}{2}$ 时，有 $2k+1 > N$，从而 $|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。 因此，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $K_2 = \left\lfloor \frac{N-1}{2} \right\rfloor + 1$，则当 $k > K_2$ 时，$|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$，即 $$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k+1} = a.$$
证毕。
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**（2）** 如果 $\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k} = a$，$\displaystyle{\lim_{k \to \infty}} x_{2k+1} = a$，则 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} x_n = a$。
**证明：** 由已知，对任意给定的 $\varepsilon > 0$：
- 存在正整数 $K_1$，使得当 $k > K_1$ 时，$|x_{2k} - a| < \varepsilon$； - 存在正整数 $K_2$，使得当 $k > K_2$ 时，$|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。
取 $N = \max\{2K_1, 2K_2+1\}$，则对任意 $n > N$，分两种情况讨论：
- 若 $n$ 为偶数，设 $n = 2k$，则 $k > K_1$，从而 $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon$； - 若 $n$ 为奇数，设 $n = 2k+1$，则 $k > K_2$，从而 $|x_n - a| = |x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，总有 $|x_n - a| < \varepsilon$，即 $$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} x_n = a.$$
证毕。