📝 题目
6．证明函数极限的唯一性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，那么该极限唯一。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明函数极限的唯一性（当 $x \to +\infty$ 时）**
**定理：** 若极限 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x)$ 存在，则此极限唯一。
**证明：** 采用反证法。
假设当 $x \to +\infty$ 时，函数 $f(x)$ 有两个不同的极限，即 $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = B, $$ 且 $A \neq B$。
不妨设 $A < B$。取 $\varepsilon = \frac{B - A}{2} > 0$。
根据极限的定义： 1. 由 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = A$，存在 $X_1 > 0$，使得当 $x > X_1$ 时，有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon. $$ 即 $$ A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon. $$
2. 由 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = B$，存在 $X_2 > 0$，使得当 $x > X_2$ 时，有 $$ |f(x) - B| < \varepsilon. $$ 即 $$ B - \varepsilon < f(x) < B + \varepsilon. $$
取 $X = \max\{X_1, X_2\}$，则当 $x > X$ 时，上述两个不等式同时成立。
于是，对于 $x > X$，一方面有 $$ f(x) < A + \varepsilon = A + \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}, $$ 另一方面又有 $$ f(x) > B - \varepsilon = B - \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}. $$
这就得到了矛盾：$f(x) < \frac{A+B}{2}$ 且 $f(x) > \frac{A+B}{2}$ 不可能同时成立。
因此假设不成立，故 $A = B$，极限唯一。
**证毕。**