📝 题目
7．证明函数的局部有界性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么存在常数 $M\gt 0$ 和 $X\gt 0$ ，使得 $|x|\gt X$时，有 $|f(x)| \leqslant M$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明：** 设 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x) = A}$，其中 $A$ 是一个有限实数。 由极限的定义，对 $\varepsilon = 1 > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ |f(x) - A| < 1. $$
于是，由绝对值不等式， $$ |f(x)| = |f(x) - A + A| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|. $$
取 $M = 1 + |A| > 0$，则当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x)| \leq M$。 这就证明了函数在无穷远处具有局部有界性。$\square$