📝 题目
8．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}}{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}}=\frac{a}{b}\left(\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b \neq 0\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**习题8（1）证明：** 已知 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} x_n = a$，$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} y_n = b$，要证 $$ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (x_n y_n) = a b. $$
**证明步骤：** 由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，有 $$ |x_n - a| < 1, $$ 从而 $|x_n| < |a| + 1$，即 $\{x_n\}$ 有界。 同时，存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，有 $$ |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}. $$ 又存在 $N_3$，当 $n > N_3$ 时，有 $$ |x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}. $$ 取 $N = \max\{N_1, N_2, N_3\}$，则当 $n > N$ 时， $$ \begin{aligned} |x_n y_n - a b| &= |x_n y_n - x_n b + x_n b - a b| \\ &\le |x_n| \cdot |y_n - b| + |b| \cdot |x_n - a| \\ &< (|a|+1) \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} + |b| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|b|+1)} \\ &\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{aligned} $$ 因此 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} (x_n y_n) = a b$，即乘积的极限等于极限的乘积。
---
**习题8（2）证明：** 已知 $b \neq 0$，要证 $$ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}. $$
**证明步骤：** 首先证明 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{y_n} = \frac{1}{b}$。 因为 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} y_n = b \neq 0$，取 $\varepsilon_0 = \frac{|b|}{2} > 0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时， $$ |y_n - b| < \frac{|b|}{2} \quad \Rightarrow \quad |y_n| > \frac{|b|}{2}. $$ 于是对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时， $$ |y_n - b| < \frac{\varepsilon |b|^2}{2}. $$ 取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时， $$ \left|\frac{1}{y_n} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|y_n - b|}{|y_n| \cdot |b|} < \frac{\frac{\varepsilon |b|^2}{2}}{\frac{|b|}{2} \cdot |b|} = \varepsilon. $$ 因此 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{y_n} = \frac{1}{b}$。 再由乘积极限法则（已证）， $$ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{x_n}{y_n} = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \left( x_n \cdot \frac{1}{y_n} \right) = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}. $$ 证毕。