第1章 · 第1-5-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细解答，使用LaTeX格式书写。

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**（1）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}$

利用重要极限 $\displaystyle{\lim}_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$：

令 $u = \frac{x}{2}$，则 $x = 2u$，原式化为 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{2u} = \frac12 \cdot 1 = \frac12. $$

答案：$\boxed{\frac12}$

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**（2）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{x}$

利用 $\tan 4x \sim 4x$ 当 $x \to 0$：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{x} = 4. $$

答案：$\boxed{4}$

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**（3）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\tan 3 x}$

利用等价无穷小：$\sin 2x \sim 2x$，$\tan 3x \sim 3x$：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac23. $$

答案：$\boxed{\frac23}$

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**（4）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cdot \cot 2 x$

$$ x \cot 2x = x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x. $$

由于 $\displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} = \frac12$，且 $\cos 2x \to 1$，故极限为 $\frac12$。

答案：$\boxed{\frac12}$

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**（5）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$

利用 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$：

$$ \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x} = \frac{2\sin^2 x}{x \sin x} = \frac{2\sin x}{x}. $$

当 $x \to 0$，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，故极限为 $2$。

答案：$\boxed{2}$

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**（6）** $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 5^{n} \sin \frac{x}{5^{n}}$

令 $t = \frac{x}{5^n}$，则 $n \to \infty$ 时 $t \to 0$，且 $5^n = \frac{x}{t}$：

$$ 5^n \sin \frac{x}{5^n} = \frac{x}{t} \sin t = x \cdot \frac{\sin t}{t} \to x \cdot 1 = x. $$

答案：$\boxed{x}$

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**（7）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{\cos x-\cos a}{x-a}$

利用和差化积：$\cos x - \cos a = -2 \sin\frac{x+a}{2} \sin\frac{x-a}{2}$：

$$ \frac{\cos x - \cos a}{x-a} = -2 \sin\frac{x+a}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x-a}{2}}{x-a}. $$

令 $u = \frac{x-a}{2}$，则 $\frac{\sin u}{2u} \to \frac12$，且 $\sin\frac{x+a}{2} \to \sin a$，故极限为 $-\sin a$。

答案：$\boxed{-\sin a}$

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**（8）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x+\sin x}$

分子分母同除以 $x$：

$$ \frac{x - \sin x}{x + \sin x} = \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} \to \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0. $$

答案：$\boxed{0}$

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**（9）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x}{\sin 3 x}$

等价无穷小：$\arcsin 2x \sim 2x$，$\sin 3x \sim 3x$：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\sin 3x} = \frac{2x}{3x} = \frac23. $$

答案：$\boxed{\frac23}$

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**（10）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{\pi-x}$

令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$t \to 0$，且 $\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$：

$$ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1. $$

答案：$\boxed{1}$

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**（11）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$

提取 $\tan x - \sin x = \sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$：

$$ \frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x} = \frac{1 - \cos x}{\cos x \cdot \sin^2 x}. $$

利用 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$：

$$ \frac{\frac{x^2}{2}}{1 \cdot x^2} = \frac12. $$

答案：$\boxed{\frac12}$

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**（12）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \frac{\pi x}{2}$

令 $t = 1 - x$，则 $x = 1 - t$，$t \to 0$：

$$ \tan\frac{\pi x}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi t}{2}\right) = \cot\frac{\pi t}{2}. $$

于是原式为： $$ t \cdot \cot\frac{\pi t}{2} = t \cdot \frac{\cos\frac{\pi t}{2}}{\sin\frac{\pi t}{2}} \sim t \cdot \frac{1}{\frac{\pi t}{2}} = \frac{2}{\pi}. $$

答案：$\boxed{\frac{2}{\pi}}$