📝 题目
2．求下列函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-4 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2 x}\right)^{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x+1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{2 x-3}\right)^{x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{2 \sec x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{3^{n}}\right)^{3^{n}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x-1}{3 x+1}\right)^{3 x-1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细解答，均利用重要极限 $\displaystyle{\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e}$ 或其变形。
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**(1)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}}$
令 $u = \frac{2}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时 $u \to 0$，且 $x = \frac{2}{u}$，于是 $$ \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{2}{x}\right)^{x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{2}{u}} = \left[\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u}\right]^2 = e^2. $$
**答案：** $e^2$
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**(2)** $\displaystyle{\lim_{x \to 0} (1+3x)^{1/x}}$
令 $u = 3x$，则 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，且 $\frac{1}{x} = \frac{3}{u}$， $$ \lim_{x \to 0} (1+3x)^{1/x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{3/u} = e^3. $$
**答案：** $e^3$
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**(3)** $\displaystyle{\lim_{x \to 0} (1-4x)^{1/x}}$
令 $u = -4x$，则 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，且 $\frac{1}{x} = -\frac{4}{u}$， $$ \lim_{x \to 0} (1-4x)^{1/x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{-4/u} = e^{-4}. $$
**答案：** $e^{-4}$
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**(4)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{2x}\right)^{x}}$
令 $u = -\frac{1}{2x}$，则 $x \to \infty$ 时 $u \to 0$，且 $x = -\frac{1}{2u}$， $$ \lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{2x}\right)^{x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{-\frac{1}{2u}} = e^{-1/2}. $$
**答案：** $e^{-1/2}$
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**(5)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x+1}}$
先化简：$\frac{1+x}{x} = 1 + \frac{1}{x}$，于是 $$ \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \cdot \left(1+\frac{1}{x}\right) = e^2 \cdot 1 = e^2. $$
**答案：** $e^2$
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**(6)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^{x}}$
改写：$\frac{2x+1}{2x-3} = 1 + \frac{4}{2x-3}$，令 $u = \frac{4}{2x-3}$，则 $x = \frac{3}{2} + \frac{2}{u}$，当 $x \to \infty$ 时 $u \to 0$， $$ \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{4}{2x-3}\right)^{x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{3}{2} + \frac{2}{u}} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{3/2} \cdot \lim_{u \to 0} (1+u)^{2/u} = 1 \cdot e^2 = e^2. $$
**答案：** $e^2$
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**(7)** $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \left(1+3\tan^2 x\right)^{\cot^2 x}}$
令 $u = 3\tan^2 x$，则 $\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x} = \frac{3}{u}$，当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$， $$ \lim_{x \to 0} (1+3\tan^2 x)^{\cot^2 x} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{3/u} = e^3. $$
**答案：** $e^3$
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**(8)** $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^{2\sec x}}$
令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时 $t \to 0$，且 $\cos x = \sin t$，$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\sin t}$，于是 $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^{2\sec x} = \lim_{t \to 0} (1+\sin t)^{2/\sin t}. $$ 令 $u = \sin t$，则 $t \to 0$ 时 $u \to 0$，原式 $= \lim_{u \to 0} (1+u)^{2/u} = e^2$。
**答案：** $e^2$
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**(9)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin(1/x)}}}$
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，原式 $= \lim_{t \to 0} (1-t)^{1/\sin t}$。 取对数：$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1-t)}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{-t + o(t)}{t + o(t)} = -1$，因此原极限 $= e^{-1}$。
**答案：** $e^{-1}$
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**(10)** $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{2}{3^n}\right)^{3^n}}$
令 $u = \frac{2}{3^n}$，则 $n \to \infty$ 时 $u \to 0$，且 $3^n = \frac{2}{u}$， $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{2}{3^n}\right)^{3^n} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{2/u} = e^2. $$
**答案：** $e^2$
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**(11)** $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x-1}{3x+1}\right)^{3x-1}}$
改写：$\frac{3x-1}{3x+1} = 1 - \frac{2}{3x+1}$，令 $u = -\frac{2}{3x+1}$，则 $3x-1 = -\frac{2}{u} - 2$，当 $x \to \infty$ 时 $u \to 0$， $$ \lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{2}{3x+1}\right)^{3x-1} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{-\frac{2}{u} - 2} = e^{-2} \cdot 1 = e^{-2}. $$
**答案：** $e^{-2}$
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**(12)** $\displaystyle{\lim_{x \to 1} (2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}}}$
令 $t = 1-x$，则 $x \to 1$ 时 $t \to 0$，且 $2-x = 1+t$，$\sec \frac{\pi x}{2} = \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{2}(1-t))} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi t}{2})}$， $$ \lim_{x \to 1} (2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{1/\sin(\pi t/