📝 题目
3．利用夹逼准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{n}+3^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=3$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题3（1）** 证明： 对于 $k=1,2,\dots,n$，有 $$ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}. $$ 因此 $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}. $$ 计算左右两端的极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1, $$ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1. $$ 由夹逼准则得 $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} = 1. $$
**习题3（2）** 证明： 考虑 $n\ge 2$，则 $$ \frac{2^n}{n!} = \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\frac{2}{n}. $$ 当 $n\ge 3$ 时，从第三项起每一项 $\frac{2}{k}\le\frac{2}{3}$，因此 $$ 0 \le \frac{2^n}{n!} \le 2\cdot 1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}. $$ 由于 $\displaystyle{\lim}_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}=0$，由夹逼准则得 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}=0. $$
**习题3（3）** 证明： 显然有 $$ 3 = (3^n)^{\frac{1}{n}} \le \left(1+2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}} \le (3\cdot 3^n)^{\frac{1}{n}} = 3\cdot 3^{\frac{1}{n}}. $$ 而 $\displaystyle{\lim}_{n\to\infty} 3^{\frac{1}{n}} = 1$，因此 $$ \lim_{n\to\infty} 3\cdot 3^{\frac{1}{n}} = 3. $$ 由夹逼准则得 $$ \lim_{n\to\infty} \left(1+2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}} = 3. $$