📝 题目
1．判断下列各题中，哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （1） $3 x^{2}-2 x-1(x \rightarrow 1)$ ； （2）$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}(x \rightarrow+\infty)$ ； （3） $\ln x(x \rightarrow+\infty)$ ； （4） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{-}\right)$； （5）$x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right)(x \rightarrow 0)$ ； （6） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是对习题1-6的详细解答，判断各函数在指定极限过程中的无穷小或无穷大性质。
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**（1）** $3 x^{2}-2 x-1 \quad (x \rightarrow 1)$
先计算极限： $$ \displaystyle{\lim_{x \to 1} (3x^2 - 2x - 1) = 3(1)^2 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0} $$ 极限为0，因此该函数是 **无穷小**。
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**（2）** $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \quad (x \rightarrow +\infty)$
比较分子分母的最高次项： 分子是 $x^2$，分母 $\sqrt{x^3+1} \sim x^{3/2}$，因此 $$ \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} \sim \frac{x^2}{x^{3/2}} = x^{1/2} \to +\infty $$ 所以是 **无穷大**。
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**（3）** $\ln x \quad (x \rightarrow +\infty)$
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x \to +\infty$，因此是 **无穷大**。
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**（4）** $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \quad (x \rightarrow 0^{-})$
当 $x \to 0^{-}$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，因此 $$ \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to 0 $$ 所以是 **无穷小**。
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**（5）** $x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right) \quad (x \rightarrow 0)$
由于 $\sin\frac{1}{x}$ 有界：$|\sin\frac{1}{x}| \le 1$，因此 $$ 2 \le 3 - \sin\frac{1}{x} \le 4 $$ 于是 $$ 2x^2 \le x^2\left(3-\sin\frac{1}{x}\right) \le 4x^2 $$ 当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，由夹逼定理得极限为0，因此是 **无穷小**。
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**（6）** $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \quad (x \rightarrow 0^{+})$
当 $x \to 0^{+}$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，因此 $$ \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to +\infty $$ 所以是 **无穷大**。
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**最终答案汇总：** （1）无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷小；（5）无穷小；（6）无穷大。