📝 题目
2．当 $x \rightarrow 0\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$时，下列哪些是 $x$ 的高阶无穷小？哪些是 $x$ 的同阶或等价无穷小？哪些是 $x$ 的低阶无穷小？并指出无穷小的阶数。 （1） $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$ ； （2）$x+2 x^{2}$ ； （3） $1-\cos x^{2}$ ； （4）$x^{4}+\sin 2 x$ ； （5）$\sqrt{x(1-x)}$ ； （6）$\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$ ； （7） $\ln \left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$ ； （8） $\sin \left(\tan ^{2} x\right)$ ； （9） $\csc x-\cot x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是对习题1-6中第2题的详细解答。我们逐一分析每个无穷小量当 $x \to 0$（或 $x \to 0^+$）时与 $x$ 的比较。
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**(1)** $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$
当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \to 0$，利用等价无穷小 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$，得 $$ \mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1 \sim \sqrt{x} $$ 因此它是 $x$ 的低阶无穷小（因为 $\sqrt{x}$ 比 $x$ 趋于0更慢），阶数为 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
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**(2)** $x+2x^{2}$
当 $x \to 0$ 时，$x$ 是主要项，$2x^2$ 是高阶小量，因此 $$ x+2x^2 \sim x $$ 所以是 $x$ 的等价无穷小，阶数为1。
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**(3)** $1-\cos x^{2}$
利用 $1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$，令 $u = x^2$，得 $$ 1-\cos x^{2} \sim \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4}{2} $$ 因此是 $x$ 的高阶无穷小，阶数为4。
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**(4)** $x^{4}+\sin 2x$
当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$，而 $x^4$ 是高阶小量，所以 $$ x^{4}+\sin 2x \sim 2x $$ 因此是 $x$ 的同阶无穷小（等价于 $2x$），阶数为1。
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**(5)** $\sqrt{x(1-x)}$
当 $x \to 0^+$ 时，$1-x \to 1$，所以 $$ \sqrt{x(1-x)} \sim \sqrt{x} $$ 因此是 $x$ 的低阶无穷小，阶数为 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
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**(6)** $\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$
先化简： $$ \cos \frac{\pi}{2}(1-x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) $$ 当 $x \to 0$ 时，$\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \sim \frac{\pi}{2}x$，因此 $$ \frac{2}{\pi} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \sim \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}x = x $$ 所以是 $x$ 的等价无穷小，阶数为1。
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**(7)** $\ln\left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$
当 $x \to 0^+$ 时，$x^{3/2} \to 0$，利用 $\ln(1+u) \sim u$，得 $$ \ln\left(1+x^{\frac{3}{2}}\right) \sim x^{\frac{3}{2}} $$ 因此是 $x$ 的低阶无穷小，阶数为 $\displaystyle{\frac{3}{2}}$。
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**(8)** $\sin\left(\tan^{2} x\right)$
当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，所以 $\tan^2 x \sim x^2$，又 $\sin u \sim u$，因此 $$ \sin\left(\tan^{2} x\right) \sim x^2 $$ 所以是 $x$ 的高阶无穷小，阶数为2。
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**(9)** $\csc x - \cot x$
化简： $$ \csc x - \cot x = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} $$ 当 $x \to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$，因此 $$ \frac{1 - \cos x}{\sin x} \sim \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2} $$ 所以是 $x$ 的同阶无穷小（等价于 $\frac{x}{2}$），阶数为1。
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**总结答案**：
| 题号 | 与 $x$ 的关系 | 阶数 | |------|----------------|------| | (1) | 低阶无穷小 | $1/2$ | | (2) | 等价无穷小 | 1 | | (3) | 高阶无穷小 | 4 | | (4) | 同阶无穷小 | 1 | | (5) | 低阶无穷小 | $1/2$ | | (6) | 等价无穷小 | 1 | | (7) | 低阶无穷小 | $3/2$ | | (8) | 高阶无穷小 | 2 | | (9) | 同阶无穷小 | 1 |