📝 题目
4．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{3}-2 x+1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}-2 x+1}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3} \frac{x+2}{x^{2}-9}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{3}\right)}{\sin ^{2} x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\ln \left(1+2 x^{3}\right)}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 3 x}{\ln (1-2 x)}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sqrt{1+x}-1} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{\sqrt{1+x}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln n]$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \sin x}{1-\cos x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos \frac{1}{x}\right)$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}{x \tan x}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x \tan x)}{\sin 2 x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各极限的详细解答，使用LaTeX格式书写。
---
**（1）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{3}-2 x+1}$
分子分母同除以 $x^3$： $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}} = \frac{0+0}{1-0+0}=0 $$ **答案：** $0$
---
**（2）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow-2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$
当 $x\to -2^+$ 时分母趋于 $0^+$，分子趋于 $-4$，故极限为 $-\infty$。 若只考虑实数域，左极限不存在，因此极限不存在。 **答案：** 不存在（或 $-\infty$）
---
**（3）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}-2 x+1}}$
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{x^{3/2}\sqrt{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}} = 0 $$ **答案：** $0$
---
**（4）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 3} \frac{x+2}{x^{2}-9}$
分母趋于 $0$，分子趋于 $5$，故为无穷大。左右极限符号不同，极限不存在。 **答案：** 不存在
---
**（5）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^{3})}{\sin^{2} x}$
等价无穷小：$\sin(x^3)\sim x^3$，$\sin x\sim x$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^2}=0 $$ **答案：** $0$
---
**（6）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$
$$ \tan x-\sin x = \sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x} $$ 等价：$\sin x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac12 $$ **答案：** $\frac12$
---
**（7）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\ln(1+2x^{3})}$
等价：$\ln(1+2x^3)\sim 2x^3$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{2x^3}=\frac12 $$ **答案：** $\frac12$
---
**（8）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 3x}{\ln(1-2x)}$
等价：$\arctan 3x\sim 3x$，$\ln(1-2x)\sim -2x$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{3x}{-2x}=-\frac32 $$ **答案：** $-\frac32$
---
**（9）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{\sqrt{1+x}-1}$
等价：$\mathrm{e}^{3x}-1\sim 3x$，$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x/2}=6 $$ **答案：** $6$
---
**（10）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\sin x)}{x}$
等价：$\sin(\sin x)\sim \sin x\sim x$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1 $$ **答案：** $1$
---
**（11）** $\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} n[\ln(n+1)-\ln n]$
$$ \ln(n+1)-\ln n = \ln\left(1+\frac1n\right)\sim\frac1n $$ $$ \lim_{n\to\infty}n\cdot\frac1n=1 $$ **答案：** $1$
---
**（12）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$
此为导数定义： $$ \lim_{x\to e}\frac{\ln x-\ln e}{x-e}=(\ln x)'\big|_{x=e}=\frac1e $$ **答案：** $\frac1e$
---
**（13）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{(\mathrm{e}^{x}-1)\sin x}{1-\cos x}$
等价：$\mathrm{e}^x-1\sim x$，$\sin x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x^2/2}=2 $$ **答案：** $2$
---
**（14）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos\frac1x\right)$
令 $t=\frac1x\to 0$， $$ \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12 $$ **答案：** $\frac12$
---
**（15）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}{x\tan x}$
等价：$\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$，其中 $u=\sin x^2\sim x^2$，分母 $x\tan x\sim x^2$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x^2/2}{x^2}=\frac12 $$ **答案：** $\frac12$
---
**（16）** $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x\tan x)}{\sin 2x}$
等价：$\tan(x\tan x)\sim x\tan x\sim x^2$，$\sin 2x\sim 2x$， $$ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}=0 $$ **答案：** $0$