📝 题目
5．证明： （1）有限个无穷小的和与差都是无穷小； （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的积是无穷小。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**：
（1）**有限个无穷小的和与差都是无穷小**
设 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \dots, \alpha_n(x)$ 均为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷小，即 $$ \lim_{x \to x_0} \alpha_i(x) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n. $$ 考虑它们的和 $$ S(x) = \alpha_1(x) + \alpha_2(x) + \cdots + \alpha_n(x). $$ 对任意给定的 $\varepsilon > 0$，由于每个 $\alpha_i(x)$ 是无穷小，存在 $\delta_i > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_i$ 时，有 $$ |\alpha_i(x)| < \frac{\varepsilon}{n}. $$ 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，同时有 $$ |\alpha_i(x)| < \frac{\varepsilon}{n}, \quad i = 1, 2, \dots, n. $$ 于是 $$ |S(x)| \leq |\alpha_1(x)| + |\alpha_2(x)| + \cdots + |\alpha_n(x)| < n \cdot \frac{\varepsilon}{n} = \varepsilon. $$ 因此 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} S(x) = 0$，即有限个无穷小的和仍是无穷小。对于差的情形，只需将 $\alpha_i$ 的符号视为正负，同样可证，因为 $|\alpha_i(x) - \beta_i(x)| \leq |\alpha_i(x)| + |\beta_i(x)|$，故有限个无穷小的差也是无穷小。
（2）**有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的积是无穷小**
先证**有界函数与无穷小的乘积是无穷小**。
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界，即存在 $M > 0$ 和 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时，有 $|f(x)| \leq M$。设 $\alpha(x)$ 是当 $x \to x_0$ 时的无穷小，即 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$。
对任意 $\varepsilon > 0$，因为 $\alpha(x) \to 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，有 $$ |\alpha(x)| < \frac{\varepsilon}{M}. $$ 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) \cdot \alpha(x)| = |f(x)| \cdot |\alpha(x)| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon. $$ 因此 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)\alpha(x) = 0$，即有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
再证**有限个无穷小的积是无穷小**。
设 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \dots, \alpha_n(x)$ 均为 $x \to x_0$ 时的无穷小。由上面已证结论，$\alpha_1(x)$ 是无穷小，而 $\alpha_2(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内必有界（因为无穷小本身是有界的，存在 $\delta$ 使得 $|\alpha_2(x)| < 1$），因此 $\alpha_1(x) \cdot \alpha_2(x)$ 是无穷小。依此类推，用数学归纳法：假设 $k$ 个无穷小的积是无穷小，则 $k+1$ 个无穷小的积可视为“$k$ 个无穷小的积（无穷小）”与“第 $k+1$ 个无穷小（有界）”的乘积，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，故 $k+1$ 个无穷小的积也是无穷小。因此有限个无穷小的积是无穷小。
**证毕**。