📝 题目
＊6．根据定义证明： （1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=\frac{1+x}{x}$ 为无穷大； （2）当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$y=x \sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ 为无穷小。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=\frac{1+x}{x}$ 为无穷大**
**证明：** 根据无穷大的定义：对任意给定的 $M > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x| < \delta$ 时，有 $|y| > M$。
由于 $$ |y| = \left| \frac{1+x}{x} \right| = \frac{|1+x|}{|x|} $$ 当 $x$ 充分接近 $0$ 时，$1+x$ 接近 $1$，因此可取 $|x| < \frac12$，此时 $|1+x| > 1 - |x| > \frac12$，于是 $$ |y| > \frac{1/2}{|x|} = \frac{1}{2|x|} $$ 要使 $|y| > M$，只需 $\displaystyle\frac{1}{2|x|} > M$，即 $|x| < \frac{1}{2M}$。 取 $\delta = \min\left\{\frac12,\ \frac{1}{2M}\right\}$，则当 $0<|x|<\delta$ 时，有 $|y| > M$。 由定义，$y$ 为 $x \to 0$ 时的无穷大。
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**（2）当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$y=x \sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ 为无穷小**
**证明：** 根据无穷小的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < x < \delta$ 时，有 $|y| < \varepsilon$。
由于对任意实数，$|\sin t| \leq 1$，因此 $$ |y| = \left| x \sin \frac{1}{\sqrt{x}} \right| \leq x \cdot 1 = x $$ 要使 $|y| < \varepsilon$，只需 $x < \varepsilon$。 取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < x < \delta$ 时，有 $|y| \leq x < \varepsilon$。 由定义，$y$ 为 $x \to 0^{+}$ 时的无穷小。