📝 题目
1．选择题： （1）函数 $f(x)=\frac{1}{x(x-3)(x+5)}$ 在区间（ ）上连续； A．$(-4,3)$ B．$(-4,-1)$ C．（ $-8,-4$ ） D．$(1,4)$ （2）若 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{k} \arctan \frac{2}{x^{2}}=2$ ，则 $k=(\quad)$ ； A． 2 B． 0 C．$\frac{1}{2}$ D． 1 （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2}+n}+n}{n+2}=(\quad)$ ； A．$\infty$ B． 0 C． 2 D． 3 （4）函数 $f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x^{2}-1}{(x-1)(x+3)}$ 的间断点的个数为（ ）； A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 （5）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x\gt 0 \\ x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处间断是因为（ ）； A．$f(x)$ 在点 $x=0$ 无定义 B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 都不存在 C． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在 D． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)$ （6）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{k x}, & x\gt 0, \\ 1-x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $k=()$ ． A．-1 B． 1 C．-2 D． 2
💡 答案与解析
[AI解答]
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1. 选择题
（1）函数 $f(x)=\frac{1}{x(x-3)(x+5)}$ 在区间（ ）上连续； **答案：B** **理由**：函数为有理分式，间断点出现在分母为零处，即 $x=0,3,-5$。 选项 A：$(-4,3)$ 包含 $0$，不连续； 选项 B：$(-4,-1)$ 不包含任何间断点，故连续； 选项 C：$(-8,-4)$ 包含 $-5$，不连续； 选项 D：$(1,4)$ 包含 $3$，不连续。 因此选 B。
（2）若 $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} x^{k} \arctan \frac{2}{x^{2}}=2$，则 $k=(\quad)$； **答案：A** **理由**：当 $x\to\infty$ 时，$\arctan\frac{2}{x^2}\sim\frac{2}{x^2}$，因此 $$ \displaystyle{\lim}_{x\to\infty}x^k\cdot\frac{2}{x^2}=2\lim_{x\to\infty}x^{k-2}=2 $$ 故需 $k-2=0$，即 $k=2$。
（3）$\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2}+n}+n}{n+2}=(\quad)$； **答案：D** **理由**：分子分母同除以 $n$： $$ \displaystyle{\lim}_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+1}{1+\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{4}+1}{1}=3 $$
（4）函数 $f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x^{2}-1}{(x-1)(x+3)}$ 的间断点的个数为（ ）； **答案：B** **理由**：$\sqrt{x+1}$ 要求 $x+1\ge0$，即 $x\ge-1$，但定义域还需考虑分母 $(x-1)(x+3)\neq0$，即 $x\neq1$ 且 $x\neq-3$。 由于 $x=-3$ 已不在 $\sqrt{x+1}$ 的定义域内，所以实际间断点只考虑在定义域边界或分母零点且属于定义域的点： $x=-1$ 为左端点，可能间断；$x=1$ 为分母零点且在定义域内（$1\ge-1$），故为间断点。 因此间断点个数为 2（$x=-1$ 和 $x=1$）。
（5）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x\gt 0 \\ x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处间断是因为（ ）； **答案：C** **理由**： 左极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}(x+1)=1$； 右极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}(1+\mathrm{e}^{1/x})=1+\infty=+\infty$，不存在。 因此 $\displaystyle{\lim}_{x\to0}f(x)$ 不存在，故选 C。
（6）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{k x}, & x\gt 0, \\ 1-x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $k=()$． **答案：D** **理由**： 左极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}(1-x)=1$； 右极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{k x}=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}\frac{2x}{k x}=\frac{2}{k}$（利用等价无穷小 $\mathrm{e}^{2x}-1\sim 2x$）。 连续要求 $\frac{2}{k}=1$，得 $k=2$。