📝 题目
10．证明：方程 $x^{5}-3 x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间．
💡 答案与解析
[AI解答]
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要证明方程 $x^{5}-3x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间，我们可以利用**零点定理**（介值定理的一个推论）。
**步骤1：构造函数** 令 $$ f(x)=x^{5}-3x-1 $$ 这是一个多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续，因此在闭区间 $[1,2]$ 上也连续。
**步骤2：计算端点函数值** 当 $x=1$ 时： $$ f(1)=1^{5}-3\cdot 1-1=1-3-1=-3 $$ 当 $x=2$ 时： $$ f(2)=2^{5}-3\cdot 2-1=32-6-1=25 $$
**步骤3：判断符号** 我们有 $$ f(1)=-3<0,\quad f(2)=25>0 $$ 即 $f(1)$ 与 $f(2)$ 异号。
**步骤4：应用零点定理** 由于 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，且 $f(1)\cdot f(2)<0$，由零点定理可知，至少存在一点 $c\in(1,2)$，使得 $$ f(c)=0 $$ 即 $c$ 是方程 $x^{5}-3x-1=0$ 的一个实根，且介于 1 与 2 之间。
因此，原命题得证。