📝 题目
12．设函数 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2 a)$ ，证明至少存在一点 $\xi \in[0, a]$ ，使 $f(\xi)=f(a+\xi)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 考虑辅助函数 $$ F(x) = f(x) - f(a+x), \quad x \in [0, a]. $$ 由题设，$f(x)$ 在 $[0,2a]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续。
计算 $F(0)$ 和 $F(a)$： $$ F(0) = f(0) - f(a), \quad F(a) = f(a) - f(2a). $$ 由已知条件 $f(0) = f(2a)$，可得 $$ F(0) = f(0) - f(a), \quad F(a) = f(a) - f(0) = -[f(0) - f(a)] = -F(0). $$ 因此 $$ F(0) \cdot F(a) = -[F(0)]^2 \le 0. $$
若 $F(0) = 0$，则取 $\xi = 0$，即有 $f(0) = f(a)$，结论成立。 若 $F(0) \neq 0$，则 $F(0)$ 与 $F(a)$ 异号。由闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点 $\xi \in (0,a)$，使得 $F(\xi) = 0$，即 $$ f(\xi) = f(a+\xi). $$
综上，至少存在一点 $\xi \in [0,a]$，使得 $f(\xi) = f(a+\xi)$。 证毕。