📝 题目
2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1, x\gt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{x}{|x|}, & 1\lt |x| \leqslant 3 ;\end{cases}$ （4）$f(x)= \begin{cases}2 x, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 3-x, & 1\lt x \leqslant 2 .\end{cases}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是对习题1-7中第2题各小题的详细解答，包括连续性分析及函数图形描述。
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### （1） $$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2\end{cases}$$
**解答：** - 在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=x^2$ 为多项式，连续。 - 在区间 $(1,2]$ 上，$f(x)=2-x$ 为一次函数，连续。 - 在分段点 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1^2=1$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=2-1=1$ 函数值：$f(1)=1^2=1$ 三者相等，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续。
因此 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。 **图形描述**：从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 是抛物线 $y=x^2$，从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$ 是直线段。
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### （2） $$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1,\; x\gt 1\end{cases}$$
**解答：** - 在 $(-1,1)$ 上，$f(x)=x$ 连续。 - 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ 上，$f(x)=1$ 为常数函数，连续。 - 在 $x=-1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=1$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-1$ 函数值：$f(-1)=-1$ 左极限 $\neq$ 右极限，故 $x=-1$ 为跳跃间断点。 - 在 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=1$ 函数值：$f(1)=1$ 三者相等，故在 $x=1$ 处连续。
因此 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处不连续，其余点连续。 **图形描述**：$x<-1$ 时水平线 $y=1$，$[-1,1]$ 上为直线 $y=x$，$x>1$ 时水平线 $y=1$，在 $x=-1$ 处有一个跳跃。
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### （3） $$f(x)= \begin{cases}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ \dfrac{x}{|x|}, & 1\lt |x| \leqslant 3\end{cases}$$
**解答：** - 当 $|x|\le 1$ 时，$f(x)=|x|$，连续。 - 当 $1<|x|\le 3$ 时，$f(x)=\dfrac{x}{|x|}$，即： $x>1$ 时 $f(x)=1$，$x<-1$ 时 $f(x)=-1$，均为常数，连续。 - 在 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=|1|=1$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=1$ 函数值：$f(1)=|1|=1$ 连续。 - 在 $x=-1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=-1$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=|-1|=1$ 函数值：$f(-1)=|-1|=1$ 左极限 $\neq$ 右极限，故 $x=-1$ 为跳跃间断点。
因此 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处不连续，其余点连续。 **图形描述**：$[-1,1]$ 上为 V 形折线 $y=|x|$，$x>1$ 到 $3$ 为水平线 $y=1$，$x<-1$ 到 $-3$ 为水平线 $y=-1$，在 $x=-1$ 处有跳跃。
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### （4） $$f(x)= \begin{cases}2x, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 3-x, & 1\lt x \leqslant 2\end{cases}$$
**解答：** - 在 $[0,1)$ 上，$f(x)=2x$ 连续。 - 在 $(1,2]$ 上，$f(x)=3-x$ 连续。 - 在 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=2\cdot1=2$ 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=3-1=2$ 函数值：$f(1)$ 未定义（注意原函数在 $x=1$ 处无定义），因此 $x=1$ 为可去间断点（若补充定义 $f(1)=2$ 则连续）。
因此 $f(x)$ 在定义域内除 $x=1$ 外连续，$x=1$ 为可去间断点。 **图形描述**：从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的直线 $y=2x$（开区间，$(1,2)$ 为空点），从 $(1,2)$ 到 $(2,1)$ 的直线 $y=3-x$（$(1,2)$ 为实点？注意原函数在 $x=1$ 无定义，故 $(1,2)$ 为空点，$(1,2)$ 在右支为开点）。
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**总结答案：** （1）在 $[0,2]$ 上连续； （2）在 $x=-1$ 处跳跃间断，其余连续； （3）在 $x=-1$ 处跳跃间断，其余连续； （4）在 $x=1$ 处可去间断，其余连续。