📝 题目
4．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases} $$
应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
要使函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，只需检查分段点 $x=0$ 处的连续性，因为指数函数和一次函数在其定义区间内都是连续的。
在 $x=0$ 处，需要满足： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $$
计算左极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{x} = e^{0} = 1 $$
计算右极限： $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + x) = a + 0 = a $$
函数在 $x=0$ 处的值为： $$ f(0) = a + 0 = a $$
由连续条件： $$ 1 = a $$
因此，当 $a = 1$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，从而在整个实数轴上连续。
**答案：** $a = 1$