📝 题目
5．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} \sin x, & x\lt 0 \\ a, & x=0 \\ x \sin \frac{1}{x}+1, & x\gt 0\end{cases} $$
应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
💡 答案与解析
[AI解答]
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要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，只需保证在分段点 $x=0$ 处连续，即满足
$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x). $$
首先计算左极限。当 $x \to 0^-$ 时，$f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，因此
$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1. $$
这里使用了重要极限 $\displaystyle{}\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。
再计算右极限。当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) = x \sin \frac{1}{x} + 1$。由于 $\displaystyle{}\lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$（有界函数乘以无穷小），因此
$$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 1 = 1. $$
于是左右极限均为 $1$，要使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，必须有
$$ f(0) = a = 1. $$
因此，常数 $a$ 应取为 $1$。
\boxed{1}