📝 题目
8．求函数 $f(x)=\frac{x|x-2|}{\left(x^{2}-4\right) \sin x}$ 的间断点，并判断其类型．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定定义域与间断点候选** 函数为 $$f(x)=\frac{x|x-2|}{(x^2-4)\sin x}.$$ 分母为零的点是可能的间断点： - $x^2-4=0 \Rightarrow x=2$ 或 $x=-2$； - $\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$。
此外，分子中的绝对值 $|x-2|$ 在 $x=2$ 处可能引起不可导，但此处分母也为零，需单独分析。 因此候选间断点集合为 $$\{-2,\;2,\;k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\}.$$
**第二步：逐一分析各点的极限与类型**
1. **$x=0$**（属于 $k\pi$ 中 $k=0$ 的情况） $$f(x)=\frac{x|x-2|}{(x^2-4)\sin x}.$$ 当 $x\to 0$ 时，$|x-2|\to 2$，$x^2-4\to -4$，$\sin x\sim x$，因此 $$f(x)\sim \frac{x\cdot 2}{(-4)\cdot x}=-\frac{1}{2}.$$ 极限存在且有限，故 $x=0$ 为**可去间断点**。
2. **$x=2$** 分母 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，分子 $x|x-2|$。考虑左右极限： - 当 $x\to 2^+$，$|x-2|=x-2$，则 $$f(x)=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)\sin x}=\frac{x}{(x+2)\sin x}\to \frac{2}{4\sin 2}=\frac{1}{2\sin 2}.$$ - 当 $x\to 2^-$，$|x-2|=2-x$，则 $$f(x)=\frac{x(2-x)}{(x-2)(x+2)\sin x}=\frac{-x(2-x)}{(2-x)(x+2)\sin x}=-\frac{x}{(x+2)\sin x}\to -\frac{1}{2\sin 2}.$$ 左右极限不相等，故 $x=2$ 为**跳跃间断点**。
3. **$x=-2$** 分母 $x^2-4=0$，分子 $x|x-2|=-2\cdot 4=-8\neq 0$，而 $\sin(-2)\neq 0$，因此分母为零且分子非零，极限为无穷大，故 $x=-2$ 为**第二类无穷间断点**。
4. **$x=k\pi$（$k\neq 0$）** 此时 $\sin x=0$，分母为零。检查分子： - 若 $k\pi\neq 2$ 且 $k\pi\neq -2$，则分子 $x|x-2|\neq 0$，因此极限为无穷大，为**第二类无穷间断点**。 - 注意 $k=0$ 已单独处理，$k$ 使得 $k\pi=2$ 或 $k\pi=-2$ 的情况不存在（因为 $\pi$ 无理数），故所有非零整数 $k$ 均为无穷间断点。
**第三步：汇总结果** - 可去间断点：$x=0$； - 跳跃间断点：$x=2$； - 第二类无穷间断点：$x=-2$ 及 $x=k\pi\;(k\in\mathbb{Z},\;k\neq 0)$。
因此，函数的所有间断点及类型如上所述。