📝 题目
＊13．设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，并且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ，证明在 $(a$ ， $b)$ 内有零点．
\begin{tabular}{|l|l|} \hline 函数概念与性质 & \begin{tabular}{l} 了解函数的定义域和表达式（集合的交、并、补） \\ 熟悉几类常见函数性质和图形（基本初等函数、复合函数、分段函数、初等函数） \end{tabular} \\ \hline 极限 & \begin{tabular}{l} 掌握数列的极限与计算 \\ 了解函数极限存在性与左右极限之间的关系 \\ 熟练有理函数无理函数极限的计算 \\ 了解夹逼定理和单调有界定理 \\ 熟练三角函数极限和幂指函数极限的计算 \\ 了解无穷小阶的概念，会用等价无穷小性质求极限 \end{tabular} \\ \hline 连续 & \begin{tabular}{l} 了解函数连续（左、右连续）与间断，会判定间断点类型 \\ 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，并且 $\displaystyle{\lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty}$，$\displaystyle{\lim_{x \to b^{-}} f(x) = +\infty}$，证明在 $(a, b)$ 内有零点。
**证明**：
由极限定义，因为 $\displaystyle{\lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty}$，所以对于任意大的负数 $M$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $a < x < a + \delta_1$ 时，有 $f(x) < M$。 特别地，取 $M = -1$，则存在 $x_1 \in (a, b)$，使得 $f(x_1) < -1 < 0$。
同理，因为 $\displaystyle{\lim_{x \to b^{-}} f(x) = +\infty}$，取 $M = 1$，则存在 $x_2 \in (a, b)$，使得当 $b - \delta_2 < x < b$ 时，有 $f(x) > 1 > 0$。 取 $x_2$ 满足 $b - \delta_2 < x_2 < b$，则 $f(x_2) > 0$。
不妨设 $x_1 < x_2$（若 $x_1 > x_2$，则交换记号即可）。于是我们得到： - $f(x_1) < 0$， - $f(x_2) > 0$， - $f(x)$ 在闭区间 $[x_1, x_2] \subset (a, b)$ 上连续。
由闭区间上连续函数的**零点定理**（介值定理的推论）：若 $f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$，则存在 $\xi \in (x_1, x_2) \subset (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。
因此，在 $(a, b)$ 内至少存在一个零点。$\square$